泸州市高2021级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则（）A.B.3C.D.52.已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.3.记为等差数列的前n项和，已知，，则取最小值时，n的取值为（）A.6B.7C.7或8D.8或94.一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A.极差变大B.平均数变大C.方差变小D.中位数变小5.《九章算术》是一本综合性的历史著作，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，标志着中国古代数学形成了完整的体系.在书中的《商功》一章里记录了“方亭”的概念，以下是一个“方亭”的三视图，则它的侧面积为（）A.B.64C.D.6.已知点在抛物线C：（）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则（）A.B.C.D.7.如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位（每个车位只停一辆车），有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（）ABCDEFGHA.B.C.D.8.已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知函数（）满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，…，，则（）A.4nB.2nC.nD.010.过双曲线C：（，）的左焦点F作圆的切线，切点为A，直线FA与C的渐近线在第一象限交于点B，若，则C的离心率为（）A.B.C.2D.311.已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（）A.B.C.D.12.已知，，给出下列不等式（1）；（2）；（3）；（4）其中一定成立的个数为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.（2）本部分共10个小题，共90分.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）.13.已知函数是偶函数，则实数___________.14.已知非零向量，满足，且，则与夹角的大小为___________.15.动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为___________.16.公比为q的等比数列满足：，记，则当q最小时，使成立的最小n值是___________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF.（1）求证：平面平面PCD；（2）求二面角A—EF—O的余弦值.18.（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为.（1）求的值；（2）若D是AC边的中点，，求BD的长.19.（本小题满分12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了A､B两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对A､B两种不同型号的新能源汽车进行综合评估，综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）：（1）以调查结果的频率估计概率，从A､B两种不同型号的新能源汽车中各随机抽取一辆，以X表示这两辆中综合得分不低于80分的辆数，求X的分布列和数学期望；（2）为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量y（单位：万台）关于年份x的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为.求y与x的相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性强弱.参考公式：（1）线性回归方程：，其中；（2）相关系数（若，则相关性较弱；若，则相关性较强；若，则相关性很强）.20.（本小题满分12分）已知A，B分别是椭圆E：（）的右顶点和上顶点，椭圆中心O到直线AB的距离为，且椭圆E过点.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点的直线与椭圆E相交于M，N两点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于点C，.试探究M，C，D三点的横坐标是否成等差数列，并说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数（），（1）讨论函数的零点个数；（2）若恒成立，求函数的零点的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和的极坐标方程；（2）若直线l：（其中）与曲线，的交点分别为A，B（A，B异于原点），求的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数.（1）解不等式；（2）设函数的最小值为T，正数a，b，c满足，证明：.泸州市高2021级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一､选择题：题号123456789101112答案DBCCCAABBBDC二､填空题：13.214.15.816.17三､解答题：17.解：（1）因为底面是矩形，与交于点，所以为中点，点是棱的中点，是棱的中点，所以为的中位线，为的中位线，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，而平面平面，所以平面平面：（2）解法一：分别取中点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则点，点，点，点，点，，设平面的法向量为，则：，取，，设平面的法向量为，则：，取，所以，二面角的余弦值为.解法二：取中点，连接交于点，连接，因为，所以，即，因为，所以，所以，是二面角的平面角，因为，所以，所以，在中，，所以二面角的余弦值为.18.解：（1）由题意，，所以，中，由余弦定理，有：，，所以（2）在中，由（1）知：，则，因为，所以，所以，由正弦定理，有，所以又，所以，解得：，所以.19.解：（1）由频率分布直方图可知，种型号的新能源汽车评估综合得分不低于80分的概率为：，B种型号的新能源汽车评估综合得分不低于80分的概率为：，所以的所有可能值为，所以，，所以的分布列为：0120.720.260.02故的数学期望；（2）相关系数为：.所以，故与线性相关很强.20.解：（1）依据题意，直线的方程为，即，所以，解得：，椭圆的方程为；（2）解法1：三点的横坐标成等差数列，理由如下：由题意知，直线的斜率存在且不为0，直线过点，所以设直线，联立方程组可得：，，设，则：，因为，所以，当时，，此时点坐标为，点坐标为，满足；当时，因为，令可得：，因为，令可得：，下面证明：，即证：，即证：，整理可得即证：，（*）由于，，所以上式（*）成立，原式得证.解法2：点的横坐标成等差数列，理由如下：设直线，因为直线过点，所以，联立方程组可得：，，设，则：，因为，所以，因为，令可得：，当时，，此时点坐标为，点坐标为，满足；当时，因为，令可得：，下面证明：，即证：，即证：，整理可得即证：，即证：，整理可得即证：，即证：，因为，所以上式成立，原式得证解法3：三点的横坐标成等差数列，理由如下：设，因为轴，所以，设直线，因为直线过点，所以，由方程组可得：当时，，所以，又因为三点共线，所以，所以，即，因为点在直线上，所以，，即，所以三点的横坐标成等差数列.解法4：三点的横坐标成等差数列，理由如下：设直线，因为直线过点，所以，联立方程组可得：，设，则：，所以，又三点共线，所以，即，所以，所以三点的横坐标成等差数列.21.解：（1）因为，由得，所以在上单减，在上单增，，又当时，时，，所以函数有唯一笭点；（2）由（1）知在上存在唯一零点，且，①当时，，由得：，即，设则，在上单减，所以，解得；②当时，由得：，即，设，则，因为，所以，所以在上单增，所以，解得；综上知：的取值范围是.22.解：（1）由消得，即，将分别代入得：的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）设直线的极坐标方程为，联立方程可得，所以，又，则有，即，综上的取值范围为.23.解：（1）当时，即，解得，故；当时，即，所以，则；当时，即，解得，故，综上所述，原不等式的解集为；（2）若，则；若，则；若，则，所以函数的最小值，故，又为正数，则，当且仅当时等号成立，所以.