安庆示范高中2024届高三联考数学试题2024.4命题单位：安庆一中审稿单位：太湖中学、野寨中学、石化一中考生注意：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知线段是圆的一条长为4的弦，则（）A．4 B．6 C．8 D．162．复数满足，则（）A． B． C． D．3．已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（）A． B． C． D．4．已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为．若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（）A． B． C． D．的大小关系不确定5．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（）A． B． C． D．36．已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．7．在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（）A．该截面多边形是四边形B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点C．平面D．平面平面8．若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）对．A．5 B．6 C．7 D．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函数，则（）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递增C．函数的最大值为D．若方程在上有且仅有8个不同的实根，则11．直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（）A．线段与线段的中点必重合 B．C．线段的长度不可能成等差数列 D．线段的长度可能成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在的展开式中，不含字母的项为_________．13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为_________．14．由函数图象上一点向圆引两条切线，切点分别为点，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为_________，此时_________．（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）随着生活水平的不断提高，老百姓对身体健康越来越重视，特别认识到“肥胖是祸不是福”．某校生物学社团在对人体的脂肪含量和年龄之间的相关关系研究中，利用简单随机抽样的方法得到40组样本数据，其中表示年龄，表示脂肪含量，并计算得到，作出散点图，发现脂肪含量与年龄具有线性相关关系，并得到其线性回归方程为．（1）请求出的值，并估计35岁的小赵的脂肪含量约为多少？（2）小赵将自己实际的脂肪含量与（1）中脂肪含量的估计值进行比较，发现自己的脂肪含量严重超标，于是他打算进行科学健身来降低自己的脂肪含量，来到健身器材销售商场，看中了甲、乙两款健身器材，并通过售货员得到这两款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数10403020100乙款使用年限统计表使用年限5年6年7年8年合计台数30402010100如果小赵以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，小赵应选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？16．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，，，连接．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角正弦值的大小．17．（本题满分15分）已知函数在点处的切线平行于直线．（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）若是函数的极值点，求证：．18．（本题满分17分）已知数列的首项等于3，从第二项起是一个公差为2的等差数列，且成等比数列．（1）求数列的前项的和；（2）设数列满足且，若数列的前项的和为，求．19．（本题满分17分）已知椭圆，圆．（1）点是椭圆的下顶点，点在椭圆上，点在圆上（点异于点），连，直线与直线的斜率分别记作，若，试判断直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．（2）椭圆的左、右顶点分别为点，点（异于顶点）在椭圆上且位于轴上方，连分别交轴于点，点在圆上，求证：的充要条件为轴．安庆示范高中2024届高三联考数学试题参考答案题号1234567891011选项CDABACBBABACDABD一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C【解析】由条件知，故选C．2．D【解析】由条件知，所以，故选D．3．A【解析】根据条件可知其外接球与内切球的半径之比为，所以其表面积之比为，故选A．4．B【解析】由题意可知，，，于是，又，所以，所以，两式相减得，所以，故选B．5．A【解析】由已知得，所以，根据得即，于是，即，所以，故选A．6．C【解析】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，且函数为奇函数，，所以不等式可化为，于是，即，解得或，故选C．7．B【解析】将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，则可得到截面多边形是五边形，A错误；因，所以，于是截面与棱的交点是棱的一个三等分点，B正确，因与不垂直，平面，所以与平面不垂直，选项C错误；因平面，所以平面与平面不平行，选项D错误，故选B．8．B【解析】由条件知，于是，又，所以，于是“4项紧密数列”有；，共有6对，故选B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．AB【解析】由条件知，，要使有且仅有3个不同元素，则，解得，结合备选答案，AB符合，故选AB．10．ACD【解析】由条件可知，因，又函数与的最小正周期均为，所以函数的最小正周期为，A正确；又，所以函数为偶函数，考虑当时，，所以B错误，C正确，又，作出函数的大致图象，即可判断D正确，故选ACD．11．ABD【解析】设直线，联立得，于是，联立得，于是，所以，因此线段与线段的中点必重合，A正确；设中点为，则，所以，B正确；假设线段的长度成等差数列，则，所以，于是，两边同时平方并整理得，于是，展开整理得，该方程有解，所以存在直线，使得线段的长度成等差数列，C错误；同上推理，当线段的长度相等时，线段，的长度成等比数列，D正确，故选ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【解析】由条件可知不含字母的项为．13．【解析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，则，，所以，故填．14．【解析】设点，则以线段为直径的圆的方程为，整理得，与圆相交，得直线，令，则，构造函数，对其求导得，令，则，于是函数在上单调递增，在上单调递减，其最大值为，此时直线的方程为，于是．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．解：（1）因线性回归直线方程经过样本中心，所以将代人，得到．于是，当时，．所以的值为，估计35岁的小赵的脂肪含量约为19.317．（2）以频率估计概率，设甲款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为56780.10.40.30.2于是．设乙款健身器材使用年限为（单位：年），则的分布列为56780.30.40.20.1于是．因，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久．16．解：（1）因，所以，又，所以，根据余弦定理知，又，所以，于是，所以，，于是，因，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．则于是，设平面的法向量为，又，于是，所以不妨取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．解：对函数求导得，所以，解得．（1）由题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，只需，令，对其求导得，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以，于是，因此实数的取值范围是．（2）由条件知，对其求导得，函数在上单调递增，且，所以存在，使，即，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，于是是函数的极值点，所以，即得证．18．解：（1）因成等比数列，所以，即，解得，所以当时，，又不符合上式，所以数列的通项公式为因此，当时，，又符合上式，所以当时，．（2）由（1）知．令，所以，又，所以因此，所以，于是19．解：（1）设，则，丁是，因点，所以，于是，整理得，又直线的方程为，即，所以直线过定点，定点坐标为．（2）设，则，设，因，所以直线，所以，因，所以直线，所以，于是．先证充分性：当轴时，，所以，即，于是，设直线交轴于点，因轴，所以，又，所以，于是，不妨设点在第一象限，点在第二象限，则，即，所以直线的方程为，联立得，解得或，所以，于是，所以充分性成立．再证必要性：当时，即，整理得，又，所以，又三点共线，所以直线的方程为，三分共线，所以直线的方程为，联立，消去，得，即，所以轴，即必要性得证．