2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（一）数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．， D．，3．已知复数满足，，则（）A．3 B． C． D．4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数，正数满足，则的最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．246．为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三人从事三项工作，乙的年龄比从事工作人的年龄大，丙的年龄与从事工作人的年龄不同，从事工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）A． B． C． D．8．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）A．函数的最大值为1B．函数的最小值为1C．函数的最大值为1D．函数的最小值为1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知的部分图象如图所示，则（）A．B．在区间单调递减C．在区间的值域为D．在区间有3个极值点10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，．则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为11．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则下列论断正确的是（）A．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为B．圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为C．圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为D．圆锥内部有一个正方体，并使底面落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线长度为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12．在的展开式中的系数为______．13．直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是______．14．有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．16．（15分）已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求的单调区间和极值；（3）若对任意，有恒成立，求的取值范围．17．（15分）在平面直角坐标系中，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点．当与轴垂直时，面积为12．（1）求双曲线的标准方程；（2）当与轴不垂直时，作线段的中垂线，交轴于点．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．18．（17分）正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．（1）求证；（2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．19．（17分）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优惠券情况．日期12345678910销售量（千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：，，．（1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求关于的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；（2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐可以用一张优惠券，套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求；（3）记（2）中所得概率的值构成数列．①求的最值；②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于．根据数列收敛的定义证明数列收敛．参考公式：，．