河北区2023—2024学年度高三年级总复习质量检测（一）数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第I卷（选择题共45分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在指定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.设，则“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知甲乙两组数据分别为和，则下列说法中不正确的是A.甲组数据中第70百分位数为23B.甲乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为25.5D.甲乙两组数据的方差相同4.函数的导数为，则的部分图象大致是（）A.B.C.D.5.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.6.一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（）A.18B.27C.36D.547.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调；③的最大值为，最小值为，则；④最小正周期是.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.9.如图，点在以为直径的圆上，，过作圆经过点的切线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A.2B.1C.0D.-1第II卷注意事项：1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.3.本卷共11小题，共105分.二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上）10.是虚数单位，复数满足，则__________.11.若的展开式中常数项为，则__________.12.直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为__________.13.已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________.14.已知，则的最小值为__________.15.函数若函数恰有两个不同的笭点，则实数的取值范围为__________.三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的值；（3）若为的中点，且，求的面积.17.（本小题满分15分）如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离：（3）求平面和平面夹角的余弦值.18.（本小题满分15分）设椭圆的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）动点为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.19.（本小题满分15分）已知是等差数列，其公差大于1，其前项和为是等比数列，公比为，已知.（1）求和的通项公式；（2）若正整数满足，求证：不能成等差数列；（3）记，求的前项和.20.（本小题满分16分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若，且，求证：河北区2023—2024学年度高三年级总复习质量检测（一）数学答案一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.题号123456789答案DAACDDCBB二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.；11.-40；12.；13.；14.18；15.或.三､解答题：本大题共5小题，共75分.16.（本小题满分14分）解：（1），由正弦定理，得，.（2），，.（3）中，由余弦定理，得，，中，由余弦定理，得，，联立得，代入，解得.的面积.17.（本小题满分15分）证明：（1）平面，以为原点，分别以､的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.，点是的中点，，，则.设平面的法向量为，则有不妨令，得，.平面.（2），设平面的法向量为，则有不妨令，得，.则，点到平面的距离为.（3）设平面与平面的夹角为，平面的法向量为，平面的法向量为，，平面和平面夹角的余弦值等于.18.（本小题满分15分）解：（1）的焦点的坐标，由，，，得，椭圆的方程为.（2），由题意可知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率，直线的方程为，联立消去，得.直线过点，.代入，得，.同理：直线的方程为，联立消去，得.直线过点，.代入，得，.若，即直线的斜率，直线的方程为，令，解得，直线过定点.若，此时，直线也过点.直线过定点.19.（本小题满分15分）解：（1）由题意.联立即代入整理，，..（2），若成等差数列，则有，即，等式的左右两边同时除以，可得，，为偶数，为偶数，而1是奇数，等式不成立，不能成等差数列.（3），，，，，.（20）（本小题满分15分）解：（1），，令，解得.，当变化时，的变化情况如下表：+0-极大值当时，有极大值，也就是最大值，而，在上恒成立，在上单调递减.（2）要证，只要证.，令，，解得：.，当变化时，的变化情况如下表：1+0-极大值当时，有极大值，也就是最大值.而，当时，.令，，当时，恒成立，在上单调递增，而，当时，，.（3）已知，且，.由（1）可知，函数在上单调递减，.由（2）可知，当时，，即，即，，.