绝密★启用前（全国卷）理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若的子集有4个，则的值为（）A.-3B.-1C.2D.32.已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（）A.B.C.D.3.已知点为平面内不同的四点，若，且，则（）A.B.C.D.4.近几年随着技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（）A.2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率为5.如图，网格纸中小正方形的边长为，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（）A.B.C.D.6.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A.B.C.D.7.中，则的面积为（）A.B.C.D.8.若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，则这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A.B.C.D.10.已知点为坐标原点，点为直线与椭圆的一个交点，点在上，，若，则的长轴长为（）A.B.3C.D.611.已知，则（）A.B.C.D.12.已知第一象限内的点在双曲线上，点关于原点的对称点为是的左､右焦点，点是的内心（内切圆圆心），在轴上的射影为，记直线的斜率分别为，且，则的离心率为（）A.2B.8C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为__________.14.函数是偶函数，则__________.15.平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点都在圆上，直线方程为，且的垂心在内，点在线段上，则圆的标准方程为__________.16.已知，给出下列命题：①的图象关于点对称；②的值域为；③在区间上有33个零点；④若方程在区间有4个不同的解，其中，则的收值范围是.其中所有正确命题的序号为__________.（少选､错选都不给分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列.（1）求；（2）若，数列的前项和为，求.18.（12分）如图，在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点在棱上，，过点的平面与直线垂直，且与分别交于点.（1）确定的位置，并证明你的结论；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（12分）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长与身高之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：1591651701761806771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为，求.参考数据：参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.20.（12分）已知倾斜角为的直线与抛物线只有1个公共点的焦点为，直线的倾斜角为.（1）求证：；（2）若，直线与直线交于点，直线与的另一个交点为，求证：.21.（12分）已知函数.（1）若的导数分别为，且，求的取值范围；（2）用表示中的最小值，设，若，判断的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与交于点，求的周长.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.绝密★启用前（全国卷）理科数学参考答案1.【答案】C【解析】因为，且的子集有4个，则中有2个元素，且这两个元素为2，3，所以，故选C.2.【答案】A【解析】因为，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，故选A.3.【答案】D【解析】由得，即，又，所以，故选D.4.【答案】B【解析】由每年增加数均为正数，可得A正确；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B错误；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数不大于110，所以所求概率为正确，故选B.5.【答案】B【解析】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为的正方形，冠军台高，亚军台高，季军台高，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为的正方形面积，减去2个底边长为高为的矩形面积，减去2个底边长为高为的矩形面积，即，故选B.解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为的正方形，冠军台高，亚军台高，季军台高，前后两个面的面积之和为，上面3个面的面积之和为，左右4个侧面的面积之和为，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为，故选B.6.【答案】C【解析】如图所示，不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，设，则，作直线，把该直线平移到点处取得最大值，，平移到点处取得最小值，，所以的取值范围是，故选C.7.【答案】B【解析】因为，由余弦定理得，所以，所以的面积为，故选B.8.【答案】D【解析】因为，则，设切点为，则，即，整理得，所以，故选D.9.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为，故选D.10.【答案】C【解析】设，由得，由可得，所以，所以，所以的长轴长为，故选C.11.【答案】A【解析】设，则在上单调递减，所以，所以，，所以，故选A.12.【答案】A【解析】设圆与分别切于点，则，且，所以，点，设，则，所以，所以，，故选A.13.【答案】-1【解析】的展开式中的系数为.14.【答案】【解析】因为是偶函数，所以，所以.15.【答案】【解析】由的垂心到直线距离，设圆半径为，由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，因为直线方程为，所以直线方程为，设，则到直线距离，解得（舍去）或，所以圆的标准方程为.16.【答案】①④（少选､错选都不给分）【解析】由，可得①正确；由得，当，②正确；，令得或，，所以在上有31个零点，③错误；是以为周期的周期函数，当时在上有2个实根，且；当时在上没有实根，在上有2个实根，且，，所以，所以的取值范围是，④正确，所以正确命题的序号为①②④.17.【解析】（1）由得，所以，因为成等比数列，所以，即，把代入上式得，解得或，当时，，不符合题意，当时，，所以（2）因为，当为偶数时，，所以.18.【解析】（1）取中点，连接，由已知可得，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，过作的平行线与的交点即为，过作的平行线与的交点即为，因为，所以，所以当时，平面与直线垂直.（2）由题意可得，因为，所以，以为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以设平面的一个法向量为，则有，得，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得，，，.因为与的相关系数近似为0.997，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由及（1）得，，所以关于的回归方程为（说明：根据，得出.正确，）（3）的取值依次为，，，所以20.【解析】（1）方法1：设，则的方程为，与联立得，因为直线与抛物线只有1个公共点，所以，整理得，所以，又，所以，因为，所以，所以方法2：易知点在第一象限，且直线与相切于点，由，得，所以的方程为，设与交于点，则，所以由抛物线的几何性质可知，故（2）时，的方程为，把代入得的方程为，把代入得，所以，由（1）知，，设，设直线方程为，与联立得，是该方程的两个根，所以，所以，所以，所以21.【解析】（1）因为，所以，由得，因为，所以，所以问题转化为时恒成立，即时恒成立，设，则时单调递减，时单调递增，所以，所以，即的取值范围是.（2）因为，设，则，（i）若，时单调递增，时单调递减，所以，所以时，没有零点，（ii）若，由（1）知在上单调递增，且，所以，当时，单调递增，且，存在唯一使得，，当时，，在上单调递减，且，所以存在唯一使得，综上，时没有零点，时有2个零点.22.【解析】（1）将中的参数消去，得，把代入得直线的极坐标方程为.（2）解法一：设，由方程组得，所以，即.因为点到直线的距离，所以，所以的周长为解法二：由，得的直角坐标方程为，即，曲线是以为圆心，半径为2的圆，点到直线的距离，所以，直线与直线垂直，点到直线的距离，所以，所以的周长为23.【解析】（1）因为，所以，当时等号成立，所以的最小值为2.（2）因为且，要证，即证，即证，整理得，所以即证，而，等号在时成立.所以成立.