2024届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案及评分细则命题学校：鄂南高中命题人：李环宇易红艳汪勇谋审题人：鄂南高中雷松柏黄石二中万莲艳题号1234567891011答案ABBCADDCACDACABC1.M=(−5,2),N=[0,+∞)∴MN=[0,2)选：A2.设z=+∈abi,(a,bR)，由ziz+=2，得|a++(b2)i|=+|abi|,2222a++(b2)=ab+，解得b=−1，∴z的虚部为−=b1选：Bπαtan−12tanα33.由tanα−==2，得tanα=−3，∴sin2α==−41+tanα1+tan2α5选：B234.由a=b=a−b得向量a,b的夹角为60，a⋅+=()aba+ab=||a2211223（a+=b)22(a+2ab+=b)||a222选：C5.由题意得，动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面α的交线，B2可得线段AM的最小值为42×=4A2M选：Aα6．20122，所以2的系数为，所以xC66+ax⋅C(−x)+−(1)⋅C6(−x)x1−−=−6a152a=−2选：D7．设Pxy(,)，PA⋅=PB3a2，得P得轨迹方程为圆C:xy22+=4a2，所以圆C和已aa2+2+≥50知圆相交即可，圆心距rr−≤0Crr≤+，其中r=ar,2=a，得21121227aa−2−≥50得a≥1选：D1{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}xxxyx8．参变分离得ay≥x(lny−−lnx)x，∴≥a(lnyx−ln)−，∴≥aln−yyyxyylnt−1lnx−1设t=，得at≥,∈(0,+∞)，设gx()=,x∈(0,+∞)，求导讨论单调性，可xtx1得a≥e2选：C9．XN(100,1.52)可知期望为100，方差为1.52，C选项PX(<+µσ)=PX(>−µσ)正确D选项P(µσµσµσµσ−220时，ln(x+≤1)1得−<11xe≤−，∴01<≤−xe综上：fx()≤1的解集为(−∞,1e−]13.由题意，可将三棱锥A1−CDE补形成长方体，设长方体外接球半径为R，则22222(2R)=++=33434，∴SR球=4ππ=34S14.n为等差数列，∴数列{a}等差数列nn，S14=∴+=777(aa114)7(aa4+=11)77a14=−11a1aa14−=−1112a111−−aaaa−−(11),∴，则d=11=1111a4=−11a11aa11−=42a11−11137∴+7aa11311=110aa1,11∈N+，经检验aa1=12,11=2aa11−1aa1+n(25−⋅nn)则d==−1，ann=13−，Sn=⋅=,∴=−S100375010n22四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在平面四边形ABCD中,AB=5,AC=3,BC=22．3{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}(1)求cos∠BCA的值;1221(2)若cos∠=−∠=−BCD,cosADC求AD的长．135AC222+−BCAB解：（1）在∆ABC中，由余弦定理可得：cos∠=BCA2AC⋅BC985+−2∴∠cosBCA==;................5分2322××2(2)sin∠ACD=sin(∠BCD−∠BCA)=sin∠BCDcos∠BCA−cos∠BCDsin∠BCA52122172=⋅+⋅=132132262sin∠ADC=−∠=1cos2ADC.................9分5ACAD在∆ACD中，由正弦定理可得：=sin∠∠ADCsinACD3AD255∴=⇒AD=2................13分21725252616.（15分）如图所示,平面ACFE⊥平面ABCD，且四边形ACFE是矩形，在四边形ABCD中，∠=ADC120,2AB=2AD=2CD=BC=6.→→2(1)若EM=EF,求证：AM//平面BDF；3π(2)若BF与平面ABCD所成角为，求平面BED与平面BCF所成锐二面角的余弦值.6EMFADCB（第16题图）（1）证明：连接BD与AC交于点OAD==∠=CD3,ADC1204{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}∴∠DCA=30,AC=33又AB=36，BC=∴ABCD∴∠=∠=CAB90,ACB30，四边形是等腰梯形...............3分1AD//BC且AD=BC211∴=AOAC=EF=MF∴四边形AOFM是平行四边形...............6分33∴AM//OF又AM⊄⊂面BDF,OF面BDF，∴AM//平面BDF............7分（2）平面ACFE⊥平面ABCD，且四边形ACFE是矩形∴AE⊥平面ABCDπ建立如图所示空间直角坐标系，由BF与平面ABCD所成角为6，得CF=23....8分333∴B(0,3,0)C(33,0,0)F(33,0,23)E(0,0,23)D(,−,0)22→→339BE=(0,−3,23)BD=(,−,0)22→→BC=(33,−3,0)BF=(33,−3,23).........9分(0,3,23)(,,)−⋅xyz=−+3y23z=0→设平面=BED的法向量为n1(,xyz,)，则339339(,−,0)⋅(xyz,,)=x−=y02222→∴.........11分n1=(23,2,3)→设平面BCF的法向量为n2=(,xyz,)，(33,3,0)(,,)−⋅xyz=33x−=3y0则(33,3,23)(,,)−⋅xyz=33x−+3y23z=0→∴，.........13分n2=(13,0)→→||nn257∴cosθ=12=.........15分→→19|nn12|||17.（15分）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官。某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽5{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：附：α0.10.050.0250.010.001xa2.7063.8415.0246.63510.828n()ad−bc2χ2=，其中nabcd=+++．(abcdacbd++)()(++)()（1）完成上述列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值？（2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.已知小华同学答出三个问题的概率分别是321，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，432则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）解：（1）6{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关H0nnnnn()⋅−28n根据列联表中的数据，经计算得到χ2=25510=.............4分7332nnnn⋅⋅⋅63101055因为依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关8n所以χ2=>3.841⇒>n30.25.....................6分63由题可知，是10的倍数，∴=.....................7分nnmin40321（2）记小华同学答出三个问题的事件分别ABC,,,则PA()=,,PB()=PC()=432记选择方案一通过的概率为P1=P1P(ABC)+++P(ABC)P(ABC)P(ABC)32131112132117=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=....................11分43243243243224记选择方案二通过的概率为P2111P=++P(AB)P(BC)P(AC)2333132213129=⋅+⋅+⋅=343324272,小华应该选择方案一....................15分PP12>∴xy22118.（17分）已知椭圆M：+=1(ab>>0)的离心率为,AB,分别为椭圆的左顶ab2223点和上顶点，F为左焦点，且ABF的面积为.112（1）求椭圆M的标准方程；（2）设椭圆M的右顶点为C，P是椭圆M上不与顶点重合的动点：3（i）若点P(1,),点D在椭圆M上且位于x轴下方，直线PD交x轴于点F，设APF和27{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}3CDF的面积分别为SS,,若SS−=，求点D的坐标；12122（）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，iiABCPQBPxN2kkQN−QC并求出此定值.yQBPNAOCx（第18（ii）题图）c1=a2解：（1）由题意得，...........1分13()a−=cb22解得ac=2,=1...........2分xy22∴椭圆M的标准方程为+=1...........4分43(2)（i）连接PC,133...........6分SS12−=−=××−=SAPCSDPC4SDPC222∴31SDPC==SSAPC=OPC223∴OD//PCk=−...........8分OD23yx=−332得∴.......10分直线OD的方程为yx=−，联立xD=1D(1,−)2xy222+=143（其它方法酌情给分）（ii）设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：y=kx(−2)y=kx(−2)3直线AB的方程为yx=(+2)，由3得2yx=(+2)22(2kk+3)43Q(,)...........11分2323kk−−8{#{QQABBQCEogAgAIBAABhCQQlgCAMQkACACAoGAEAAsAIASBFABAA=}#}y=kx(−2)2222由xy22得（3+4k)x−16kx+16k