七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案ACADBBCA8．（解析）注意到，f(0)=1，因为f'(x)=aex−−(a1)，且f'(0)=1，所以函数y=fx()在点(0,1)处的切线方程为yx=+1.当a>0时，由exx≥+1可知，fxaeax()=x−(1)1−+−aaxax≥(1)(1)1+−−+−ax=+1，所以||PQ的最小值为直线|b−1|yx=+1与直线y=gx()=x+b的距离，由点到直线的距离公式知=2，解得b=−1或2b=3（舍去），所以b=−1.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCDABCBCD11．（解析）当a=0时，fx()=x3+1，则fx'2()=3x，则f'(0)=0，则曲线y=fx()在点(0,1)处的切线方程为y=1，故A选项错误.当a=3时，fx()=−+x33x1，则fx'2()=3x−3，当x∈(−∞,−1)和(1,+∞)时，fx'()>0，fx()单调递增，x∈−(1,1)时，fx'()<0，fx()单调递减.又因为f(−=1)3，f(1)=−1，结合三次函数的图象特征，此时，fx()有三个零点，3故B选项正确.设f()x=−+xax1的三个零点分别为x1，x2，x3，则有32x−ax+=1(xxxx−123)(−)(xx−)，展开后比对含x项的系数，可得xxx123++=0，故选项C正确.当a≤0时，易知fx()在R上单调递增，结合图象知不符合题意，故a>0.因为fx''()=6x，f''(0)=0，因此函数f()x=−+x3ax1的图象关于点(0,1)成中心对称图形.则此正方形必以(0,1)为中心，不妨设正方形的四个顶点分别为A，B，C，D，其中一条对角线AC的方程为y=+>kx1(k0)，则x3−ax+=11kx+，即x3−+(akx)0=，解得11x=±+ak，则|AC|=++21k2ak，同理可得|BD|=+−21a.由kk211|AC||22=BD|得(k23−1)ak++=0，根据题意，方程(k23−1)ak++=0只有一个正解，kk11kk32++212当k=1时，显然不成立.故k≠1，则−=akkk==−+，因为a>0，则2−11kk1kk−−kk12k∈(0,1)，设tk=−，则t∈(−∞,0).设gt()=t+，根据题意，只需要直线ya=−与函kt2数gt()=t+的图象只有唯一的公共点即可.结合双勾函数的图象可得−=−a22，解得ta=22.所以选项D正确.七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第1页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.题号121314答案．（解析）：把平面AACC沿AA展开到与平面ABBA共面的′的位置，1411111AAC11C′延长BB到′，使得′，连结′，如图所示，1B1BB1=B1BBF11则′，要使得CE++EFFB的长度最小，则需′，，，′四点共线，BF11=BF11C1EFB1此时′′′′，C1E++EFFB1=C1E++EFFB1=C11B′′′′因为CB11=4，BB1=4，∠=°B1BC1190，′′′所以∠=∠B1BCB111=°45，′′所以BF=BB1=2，AE1=AC11=1，故AE=AF=1，∠=∠=°AFEBFB145，∠=°所以B1FE90，EF=2，BF1=22，EB1=10，△EB110所以EFB1的外接圆是以EB1的中点O为圆心，=为半径的圆22如图2，连接OA1,OF，由于==，所以22，又22AE1AC111C1E=AE1+=AC112C11B=AB11−=AC1122222所以EB1=EC1+C11B，EB110所以EC11B的外接圆是以EB1的中点O为圆心，=为半径的圆221010所以三棱锥B11−CEF外接球的球心为O，半径为，故外接球的表面积为4π×=10π．24四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（满分13分）详解：（1）由倍角公式得：cosB+1+3sinB=3π∴sin(B+)=16七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第2页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}ππ7πB∈(0,π),即B+∈(,)666πππ∴B+=,∴B=623--------------------------------（5分）（2）若选①：由BD平分∠ABC得：SSS△ABC=△ABD+△BCD，11ππ1π∴acsin=×3asin+×3csin，232626即ac=3(a+c).π在中，由余弦定理得b2=+−a22c2accos，3∴+−a22cac=12，ac=3(a+c)联立，得2−=，22(ac)9ac36a+−cac=12解得ac=12，113∴S△=acsinB=××12=33---------------（13分）ABC2221若选②：得BD=(BA+BC)，2211222BD=(BA+BC)=BA+2BA⋅+BCBC，44()得a22++cac=36，π在中，由余弦定理得b2=+−a22c2accos，3∴+−a22cac=12，a22++cac=36联立，得，22ac=12a+−cac=12113∴S△=acsinB=××12=33----------------（13分）ABC22216．（满分15分）详解：（1）连接AB1交AB1于点E，连接OE，CE1，∵O，E分别是AB，AB1的中点，D为CC1的中点，11∴OE//BB//DC,OE=BB=DC，211211∴四边形OEC1D为平行四边形，∴OD//C1E．∵OD⊄平面AC11B，CE1⊂平面AC11B，∴OD//平面AC11B------------------6分．（2）连接OC，∵∠=°BAA160，∴为正三角形，∴AO1⊥AB，∵AO1⊥BC，且BCIAB=B，∴AO1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O为原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第3页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}设AB=2，则A(1,0,0)，A1(0,3,0)，C(0,0,3)，B1(−2,3,0)，由，可得−．AC=AC11C1(1,3,3)=−=−则AC1(2,3,3)，AA1(1,3,0)，AB1=(−3,3,0)，设平面A11AC的法向量为m=(xyz,,)，AC1⋅=m0−+2xyz3+30=∴，即，AA1⋅=m0−+xy30=令x=3，∴m=(3,1,1)，设平面AC11B的法向量为n=(abc,,)，AC1⋅=n0−+2abc3+30=∴，即，AB1⋅=n0−+3ab30=令a=3，∴n=(3,3,−1)，设平面A11AC与平面AC11B所成的角为θ，mn⋅565则cosθ=cosmn,===，mn5×131365即平面A11AC与平面AC11B所成角的余弦值为．-----------------（15分）1317．（满分15分）详解：（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：x=205×+0.1255×+0.2305×0.45+355×+0.2405×0.05=300.----------（4分）（2）XN∼(300,502)，0.68270.9545∴PX(250≤≤=−≤≤+≈400)P(µσXµ2σ)+=0.8186.--------（4分）22（3）由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越A型、卓越B型和卓越C型的架数分别为3架2､架和1架，随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.CC0319CC12==33===33=PY(0)33,1PY()，C6620C20CC1291CC30==33===33=PY(2)33,3PY()，C6620C20随机变量Y的分布列如下表：Y01231991P2020202019913EY()=×+×+×+×=0123.----------（15分）202020202七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第4页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=}#}18．（满分17分）22(1−ax2)详解：（1）f'()x=−=2ax，若a≤0，则当x∈(0,+∞)时，fx'()>0，fx()单xxaa调递增，则fx()至多只有一个零点，不符题意.若a>0，令fx'()=0得，x=，则当x∈(0,)aaa时，fx'()>0，fx()单调递增，当x∈(,)+∞时，fx()单调递减.因为fx()有两个不同的零aaaa1点，则必有f()2ln=−aa()2=−ln10−>，解得0<112ln，设gt()=−−t2lnt，则gt'()=+−=1>0，则gt()单调递增，tttt22t11则gt()>=g(1)0，则tt−>2ln成立，也即xx<成立................................................（10分）t12a再证，因为是方程的根，则，又有x0+2lnx02ax0ax(12+>x)4xx12+>.xx21>−aa1211因为，，且在上单调递减，则只需证x2∈(,)+∞−x1∈(,)+∞fx()(,)+∞aaaa22，又因为，即证设fx()21<−f(x)fx()12=fx()fx()11<−f(x).aa2124(ax−1)2hx()=f(−−x)f(),xx∈(0,)，则hx''()=−f(−−x)f'()x=<0，则aaa(ax−2)x112hx()在x∈(0,)上单调递减，则hx()>=h()0，则f(−>x)fx()，从而aaa2，故成立（分）fx()21<−f(x)x0七校联盟2024年第一学月联考高三数学答案第5页共6页{#{QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABC