湖南省2024届高三九校联盟第二次联考数学由长沙市一中常德市一中湖南师大附中双峰县一中桑植县一中武冈市一中湘潭市一中岳阳市一中株洲市二中联合命题炎德文化审校、制作命题学校：长沙市一中审题学校：双峰县一中注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（）A.平均数B.相关系数C.决定系数D.方差2.已知是等比数列，是其前项和.若，则的值为（）A.2B.4C.D.3.关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（）A.在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称B.C.必为实数，必为纯虚数D.若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根4.已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（）A.1B.C.D.25.如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（）A.B.C.D.6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（）A.1.31B.1.32C.1.33D.1.347.已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（）A.B.C.D.8.过点的动直线与圆交于两点，在线段上取一点，使得，已知线段的最小值为，则的值为（）A.1B.2C.3D.4二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列函数的图象与直线相切的有（）A.B.C.D.10.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（）A.B.若，则为直角三角形C.若为锐角三角形，的最小值为1D.若为锐角三角形，则的取值范围为11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.若点满足，则动点的轨迹长度为B.三棱锥体积的最大值为C.当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为D.当在底面上运动，且溚足平面时，线段长度最大值为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为__________.13.已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________.14.函数在范围内极值点的个数为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（木小题满分15分）如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：歌曲猜对的概率0.80.50.5获得的奖励基金金额/元100020003000（1）求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；（2）甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.17.（本小题满分15分）已函数，其图象的对称中心为.（1）求的值；（2）判断函数的零点个数.18.（本小题满分17分）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.（1）求数列的通项公式；（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；（2）若点不在线族：的任意一条直线上，求的取值范和直线族的包络曲线；（3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.湖南省2024届高三九校联盟第二次联考数学参考答案命题学校：长沙市一中审题学校：双峰县一中一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CCDCBDAA1.C【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量y和x之间的相关系数”的绝对值总大，则变量y和x之间线性相关关系越强；用决定系数R来刻画回归效果，R越大说明拟合效果总好：综上选C2.C【解析】，化简得，整理得，又，.故选C.3.D【解析】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故错误：对于选项B､选项C，当时均不成立，故错误.故选D4.C【解析】取双曲线上一点，则，故选C.5.B【解析】将四面体补形成长方体，长､宽､高分别为，外接球直径等于体对角线长故，所以外接球表面积为.故选.6.D【解析】存入大额存款元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，，所认，可得，故选D.7.A【解析】由题知，，若沿轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数，令，即，由正弦曲线性质知，至少有2解，至多有3解，则自变量的区间长度在到之间，耶，那，选A.8.A【解析】圆心，半径为2，所以圆与解相切，设切点为.则，连接，则，则.设的中点为，连接，则，语圆心列直线的距离为，则.由可得，因为.所以.因此，解得：，故选A.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACABDCD9.AC【解析】选项A中，与相切于点；选项B中，与没有交点；选项C中，与相切于点；选项D中，与有三个交点，，，均不是切点.10.ABD【解析】对于中，由正弦定理得，由，得.即，由，则，故，所以或，即或（舍去），即正确：对于，结合和正弦定理知，又，数，B正确；对于，在锐角中，，即.故，C错误；对于，在锐角中，由.由对勾函数性质知，，D正确；故选ABD.11.CD【解析】对，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为，所认错误；对因为，而的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面距离最大，易知，点是正方体意向到平面距离最大的点，错误；对C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，又，弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；对D；取的中点分别为，连接，如图2所示，因为面面，故面，，面面，故面；又面，故平面面；又，故平面与平面是同一个平面.则点的轨迹为线段：在三角形中，则，故三角形是以为直角的直角三角形；故，故长度的最大值为，故正确.故选：.三､填空题（本大题共3小题，年小题5分，共15分）12.【解析】由题知：可取，若.则，即集合，得，郎的取值范围为.13.【解析】因为.14.2【解析】.当时，；当时，；当时，和均为单调减函数，又在上是单调增函数，根据复合函数单调性可知为减函数，又，故函数在该区间上存在一个零点，该零点为函数的极值点；从而函数在内一共有2个极值点.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由是直径可知，则是是等腰直角三角形，故，由圆柱的特征可知平面，又平面，所以，因为平面，则平面，而平面，则，因为，则，，所以，因为平面，所以平面，又平面，故.（2）由题意及（1）易知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，所以，由（1）知平面，故平面的一个法向量是设是平面的一个法向量，则有取，所以设平面与平面夹角为，所以，则平面与平面夹角的余弦值为.16.【解析】1）设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，则；则的所有可能取值为，所以；则的所有可能取值为，所以.参考答案一：由于，由于，所以应该安装“”的顺序猜歌名.参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率，所以应孩按照“A，B，C”的顺序猜歌名.其他合理答案均给分，17.【解析】（1）图为函教的图象关于点中心付称，故为夺函数，从而有，即.，.所以解得故；（2）法一：由（1）可知，，当时，为单调增函教，，，函数有且仅有一个零点；当时，有两个正根，满足，且，数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，函数有且仅有一个零点；当时，有两个零点当时，有两个根，满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，函致有且仅有三个零点；综上，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点法二：由（1）可知，，今，则可以转化为与两个这数图象交点的个数，今，则，故在区间上单调递减，在区间上单调递增在区间上单调递增，当单调递增时，趁于；当x趋于1且比1小时，趋于+∞：当x趋于1且比1大时，趋于：当单调递增时，趋于.所以，当时，有三个交点；当时，有两个交点；当时，有一个交点.综上，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.注意，如果是保留参数b，则答案为：当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.18.【解析】（1）由①，当时，②，①-②得，当时，，是首项为1，公比为的等比数列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得.综上：；（2）（i）在和之间新入个数，使成等差数列，设公差为，则，则.⑤则⑥⑤-⑥得：，（ii）由（1），又，由已知，假设是数量列或中的一项，不妨设，因为，所以，而，所以不可能是数列中的项.假设是中的项，则.当时，有，即，令，当时，；当时，，由知无解.当时，有，即.所以存在使得是数列中的第3项.故存在正整数使得是数列中的第3项.19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，叔.（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，无解.将整理成关于的一元二次方程；.若该方程无解，则，即.证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，于是可以得到在点处的切线方程为：，即.今直线族中，则直线为，所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，而对任意那是抛物线在点处的切线.所以直线族的包络曲线为.（3）法一：已知，设，则..由（2）知，在点处的切线方程为；同理在点处的切线方程为.，所以.因此，同理：.所以，即，所以成立.法二：过分别作准线的垂线，连接.因为.显然.又由抛物线定义得：，故为线段的中垂线，得到，即.同理可知，所以，即.则.所以成立.