2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．设集合，集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数，是z的共轭复数，则（）A． B．1 C．2 D．43．设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．184．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A．80 B．78 C．76 D．745．设是公比不为1的无穷正项等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，对任意的正整数，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角最大值为（）A． B． C． D．7．已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（）A． B． C． D．8．如图，在长方体中，，点E是棱上任意一点（端点除外），则（）A．不存在点E，使得B．空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有1条 C．过点E与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条D．过点E与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（）A． B．C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称10．抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（）A．当时，B．面积的最大值为2C．点E在一条定直线上D．设直线倾斜角为，为定值11．满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（）A．存在非零实数t，使得为等差数列B．存在非零实数t，使得为等比数列C．D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式的展开式中，常数项为__________．13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为__________．14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为__________；以曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在平面凸四边形中，．（1）求；（2）若，，求．16．（15分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．17．（15分）如图，将边长为2的菱形沿其对角线对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边所在平面的两侧，且，．设E是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．18．（17分）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布．参考数值：，，．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立．①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．19．（17分）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．（1）直接写出和的值；（2）设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．2024年安庆二模数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案ABCBCABD二、多项选择题题号91011答案ACDCDBCD三、填空题12．210 13． 14．，a四、解答题15．【解析】（1）由已知得：，故，所以．因为，故，所以．（2）由已知，为边长为4的等边三角形，在中，，由正弦定理得，故．由于，所以，故．在中，由余弦定理得，即，得．16．【解析】（1）当时，，其定义域为，求导，得．令，得（舍去），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）方法1：由条件可知，于是，解得．当时，，构造函数，，对其求导，得，所以函数在上单调递减，于是，因此实数m的取值范围是．方法2：由条件可知对任意的恒成立，令，，只需即可．对函数求导，得，，所以函数在上单调递增，于是，所以函数在上单调递增，所以，于是，因此实数m的取值范围是．17．【解析】（1）证明：取的中点O，连接、，如图所示．因为四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，所以也是边长为2的等边三角形．在等边中，O是的中点，故；且，又，故；又，故平面；又平面，故平面平面．（2）由（1）知，，．又O是等边的边中点，故．所以，以为原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立如图示空间直角坐标系．则，，，，故．因为是边长为2的等边三角形，故，所以，且，又，，故平面，则D在平面内．故求得，所以，，设平面的法向量为，显然可令；设平面的法向量为，则，令，则，，即．所以，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角的正弦值为．18．【解析】（1）．所以符合该项指标的学生人数为：人．（2）①记表示解答A类试题第一次测试合格，，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，则，．②设X的取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为X012P数学期望．19．【解析】（1）1，0.25；（2）证明：因为，等式两边同时乘b，得．因为a，b都为整数，所以也为整数，又，所以．所以，得证．假设b，，…，都小于等于a，因为，所以，所以．因为，所以，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为．（3），将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数都提取出来，此时p的倍数中还有可以提取出的数，注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来；同理，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，依此这样进行下去，则质因数的指数，得证．