年普通高等学校招生全国统一考试模拟２０２４（）数学试题参考答案及评分标准２０２４．３说明：一本解答只给出了一种解法供参考如考生的解法与本解答不同可根据试题的主要、，，考查内容参照评分标准酌情赋分．二当考生的解答在某一步出错误时如果后继部分的解答未改该题的内容与难度可、，，视影响的程度决定后继部分的给分但不得超过该部分正确答案应得分数一半如，；果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误就不再给分，．三解答右端所注分数表示考生正确做到这一步应得的累加分数、，．四只给整数分数选择题和填空题不给中间分、，．一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项８５４０是符合题目要求的。１．Ｂ ２．Ａ ３．Ｃ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｂ ７．Ｄ ８．Ｂ二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题３６１８目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。６０９．ＡＣＤ １０．ＢＣＤ １１．ＡＣ三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。３５１５１２．［１，１０） １３．２ １４．３６（２＋３）π １４４π四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。５７７．分１５（１３）解ｆｘａｂ：（１）（）＝·２ｘｘｘ分＝２ｃｏｓ＋２３ｓｉｎｃｏｓ…………………………………………………１ｘｘ分＝ｃｏｓ２＋１＋３ｓｉｎ２……………………………………………………３ｘπ分＝２ｓｉｎ（２＋）＋１，………………………………………………………４６因为ｆｘ１１即ｘπ１１所以ｘπ３分（０）＝，２ｓｉｎ（２０＋）＋１＝，ｓｉｎ（２０＋）＝，…………………５５６５６５又ｘππ所以ｘππ５π０∈（，），２０＋∈（，），６３６２６所以ｘπ４分ｃｏｓ（２０＋）＝－，……………………………………………………………６６５所以ｘｘππ分ｃｏｓ２０＝ｃｏｓ（２０＋－）………………………………………………………７６６数学试题答案第页共页 １（６）{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}ｘππｘππ＝ｃｏｓ（２０＋）ｃｏｓ＋ｓｉｎ（２０＋）ｓｉｎ６６６６３－４３．分＝…………………………………………………………………８１０由题意知ｇｘ１ｘππｘπ分（２），（）＝（２ｓｉｎ（２（－）＋）＋１－１）＝ｓｉｎ（２－），………………１０２６６６由ｇｘ１得πｋｘπ５πｋｋＺ（）≥，＋２π≤２－≤＋２π，∈，２６６６πｋｘπｋｋＺ分∴＋π≤≤＋π，∈，………………………………………………………１１６２令ｋ得ｘππ令ｋ得ｘ５ππ＝０，∈［，］，＝－１，∈［－，－］，６２６２又ｘππｘππ．∈［－，］，∴∈［，］６３６３故不等式ｇｘ１ｘππ的解集为ππ．分（）≥，∈［－，］［，］……………………………１３２６３６３．分１６（１５）解随机变量Ｘ可能取值为．分（１）：６，７，８，９……………………………………………１由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为２上三级台阶的概率为１分，，…………２３３则ＸＢ１分－６（３，）……………………………………………………………………３３可得ＰＸ２３８分（＝６）＝（）＝，…………………………………………………………４３２７ＰＸＣ１１２２４分（＝７）＝３××（）＝，…………………………………………………５３３９ＰＸＣ２１２２２分（＝８）＝３×（）×＝，…………………………………………………６３３９ＰＸ１３１分（＝９）＝（）＝，…………………………………………………………７３２７所以Ｘ的分布列为Ｘ６７８９Ｐ８４２１２７９９２７因为ＥＸ１所以ＥＸ．分 （－６）＝３×＝１，（）＝７……………………………………………９３数学试题答案第页共页 ２（６）{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}解记甲乙两位学生参加游戏恰有一人获得奖品的概率为Ｐ（２）：、，，由题意知位于第级台阶则认定游戏失败无法获得奖品所以投掷次后学员站，１０，，３，在第步台阶第四次投掷次骰子出现的倍数即位于第级台阶分７，，３，１０，……………１０其概率ＰＣ１１２２１４分１＝３××（）×＝，…………………………………………………１２３３３２７所以ＰＣ１ＰＰ４２３１８４．分＝２×１×（１－１）＝２××＝…………………………………………１４２７２７７２９甲乙两位学生参加游戏恰有一人获得奖品的概率为１８４．分、，………………………１５７２９．分１７（１５）解作直线ＡＢ即为所求．分：（１）１………………………………………………………１连结ＡＣ交ＤＥ于点Ｍ连结ＭＦ分１，，…………………………………………………２ＡＤＤＡＣＥＥＣ[∵＝２１，１＝２，'#$ＡＤＣＥ２ＡＡ∴＝１＝１＝２，３又ＡＤＣＥ四边形ＡＤＣＥ为平行四边形∥１，∴１，ＡＭＭＣ分&∴＝１，……………………………………………４%.又ＢＦＦＣ１＝１，ＭＦＡＢ�$Z∴∥１，…………………………………………５又ＭＦ平面ＤＥＦＡＢ平面ＤＥＦ⊂，１⊄，ＡＢ平面ＤＥＦ．分Y∴１∥……………………………………６ＳＡＢＣ１ＡＢＣＡＢＣ（２）∵△＝×２×２ｓｉｎ∠＝２ｓｉｎ∠２当ＡＢＣπ时ＳＡＢＣ取最大值即当ＡＢＢＣ时三棱柱ＡＢＣＡＢＣ的体积最大∴∠＝，△２，⊥，－１１１，２分…………………………………………………………………………………………７又ＢＢＡＢＢＢＢＣ以Ｂ为坐标原点ＢＡＢＣＢＢ为ｘ轴ｙ轴ｚ轴建立空间直角∵１⊥，１⊥，，，，１，，坐标系分，……………………………………………………………………………………８则ＤＥＦ（２，０，２），（０，２，１），（０，１，３），Ｄ→ＥＥ→Ｆ分∴＝（－２，２，－１），＝（０，－１，２），………………………………………………１０设平面ＤＥＦ的法向量ｎｘｙｚ＝（，，），ｎＤ→Ｅｘｙｚ由·＝０得{－２＋２－＝０，{ｎＥ→Ｆ，ｙｚ·＝０－＋２＝０，数学试题答案第页共页３（６）{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}取ｚ则ｙｘ３此时ｎ３分＝１，＝２，＝，＝（，２，１），………………………………………１２２２又平面ＡＢＣ的一个法向量为ｍ分＝（０，０，１），………………………………………１３记平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角为θ，ｍｎ则θ｜·｜１２２９．分ｃｏｓ＝ｍｎ＝＝……………………………………………１４｜｜｜｜９２９＋４＋１４故平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为２２９．分…………………………………１５２９．分１８（１７）解当ａ时ｆｘｘ２ｘ：（１）＝１，（）＝（ｌｎ＋１），ｆ分∴（１）＝１，……………………………………………………………………………１又ｆ′ｘｘｘ分（）＝（２ｌｎ＋３），………………………………………………………………２ｆ′分∴（１）＝３，……………………………………………………………………………３ｆｘ在ｆ处的切线方程为ｘｙ．分∴（）（１，（１））３－－２＝０……………………………………４ｘ（２）∵∈（０，＋∞），ｆ′ｘｘｘａｘｘｘａ分（）＝２（ｌｎ＋）＋＝（２ｌｎ＋２＋１），………………………………………………５令φｘｘａ（）＝２ｌｎ＋２＋１，φ′ｘ２（）＝ｘ＞０，φｘ在上单调递增分∴（）（０，＋∞），……………………………………………………６ａ１由φｘｘａ得ｘ－－２分（）＝２ｌｎ＋２＋１＝０＝ｅ，………………………………………………７ａ１ａ１ｆｘ在－－２上单调递减在－－２上单调递增．分∴（）（０，ｅ），（ｅ，＋）………………………９ａａ∞ｆ－ｘ－时ｆｘ（３）∵（ｅ）＝０，∴∈（０，ｅ），（）＜０，ａ１ａｘ－－２ｘ－分∴０＜１＜ｅ＜２＜ｅ，………………………………………………………………１０ｘａ１ｘａ∴ｌｎ１＜－－＜ｌｎ２＜－，２即ｘａｘａ分２（ｌｎ１＋）＜－１＜２（ｌｎ２＋）＜０，…………………………………………………１１由ｆｘｆｘ得（１）＝（２），ｘ２ｘａｘ２ｘａ１（ｌｎ１＋）＝２（ｌｎ２＋），ｘ２ａｘ２ａ即ｌｎ１ｘａ２ｌｎ２ｘａ２ｅ（ｌｎ１＋）ｅ＝ｅ（ｌｎ２＋）ｅ，ｘａｘａ２（ｌｎ１＋）ｘａ２（ｌｎ２＋）ｘａ分∴ｅ·２（ｌｎ１＋）＝ｅ·２（ｌｎ２＋），………………………………………１３令ｔｘａｔｘａ１＝２（ｌｎ１＋），２＝２（ｌｎ２＋），设ｇｔｔｔｔ（）＝ｅ，∈（－∞，０），ｇ′ｔｔｔ．分∴（）＝（＋１）ｅ…………………………………………………………………１４数学试题答案第页共页 ４（６）{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}ｔ时ｇ′ｔｇｔ单调递减∴∈（－∞，－１），（）＜０，（），ｔ时ｇ′ｔｇｔ单调递增∈（－１，０），（）＞０，（），下面证明ｔｔ又ｔ即证ｔｔ１＋２＜－２，２＞－１，１＜－２－２＜－１，即证ｇｔｇｔ（１）＞（－２－２），即证ｇｔｇｔ分（２）＞（－２－２），………………………………………………………………１５令Ｇｔｇｔｇｔｔ＝－－－－（）（）（２），∈（１，０）ｔ，ｔＧ′ｔｇ′ｔｇ′ｔｔｅ－２－（）＝（）－（－２－）＝（＋１）（ｅ－）＞０，Ｇｔ在上单调递增分∴（）（－１，０），………………………………………………………１６ＧｔＧ从而得证∴（）＞（－１）＝０，，故ｘａｘａ２（ｌｎ１＋）＋２（ｌｎ２＋）＜－２，即ｘｘａｌｎ１２＜－２－１，ａｘｘ－２－１∴０＜１２＜ｅ，ａ１２＋１．分∴ｘｘ＞ｅ…………………………………………………………………………１７１２．分１９（１７）解设动圆Ｃ的半径为ｒ易知圆Ｃ和圆Ｃ的半径分别为（１）：，１２５２，２，Ｃ与ＣＣ都内切则∵１，２，ＣＣｒＣＣｒ分｜１｜＝５２－，｜２｜＝－２，………………………………………………………１ＣＣＣＣｒｒ分∴｜１｜＋｜２｜＝５２－＋－２＝４２，………………………………………………２又ＣＣＣＣ分１（－２，０），２（２，０），∴｜１２｜＝４＜４２，…………………………………………３点Ｃ的轨迹是ＣＣ为焦点的椭圆分∴１，２，……………………………………………４ｘ２ｙ２设Ｅ的方程为ａｂ则：ａ２＋ｂ２＝１（＞＞０），ａｃ２＝４２，２＝４，ａ２ｂ２ａ２ｃ２∴＝８，＝－＝４，ｘ２ｙ２Ｅ的方程为．分∴：＋＝１……………………………………………………………５８４证明设ＡｘｙＢｘｙＰｔｔ（２）（ｉ）：（１，１），（２，２），（８，）（≠０），ｘｘｙｙ则结合圆锥曲线的性质知直线ＰＡ的方程为１１分，＋＝１，…………………………６８４ｘｘｙｙ直线ＰＢ的方程为２２分＋＝１，………………………………………………………７８４ｔｙｔｙ又直线ＰＡＰＢ都过点Ｐｔ则ｘ１ｘ２分，（８，），１＋＝１，２＋＝１，……………………………８４４ｔｙ因此直线ＡＢ的方程为ｘ显然当ｙ时ｘ分＋＝１，＝０，＝１，……………………………９４数学试题答案第页共页５（６）{#{QQABAYQQggiAABJAAAhCQw0YCEEQkAAAAIoORBAIsAABCANABAA=}#}直线ＡＢ过定点．分∴（１，０）……………………………………………………………１０设ＡＢ方程为ｘｍｙｍ（ｉｉ）：＝＋１（≠０），ｘｍｙ联立{＝＋１ｍ２ｙ２ｍｙ分ｘ２ｙ２，∴（＋２）＋２－７＝０，…………………………………………１１＋２＝８ｍｙｙ２ｙｙ－７分∴１＋２＝－ｍ２，１２＝ｍ２，………………………………………………………１２＋２＋２又Ａ′ｘｙ（１，－１），ｙｙ直线Ａ′Ｂ方程为ｙｙ１＋２ｘｘ令ｙ得＋１＝ｘｘ（－１），＝０２－１ｘｙｘｙｘ１２＋２１Ｍ＝ｙｙ１＋２ｍｙｙｍｙｙ（１＋１）２＋（２＋１）１＝ｙｙ１＋２ｍｙｙｙｙｙｙ２１２＋（１＋２）ｍ１２＝ｙｙ＝２·ｙｙ＋１１＋２１＋２－７ｍ２ｍ＋２分＝２·ｍ＋１＝８，………………………………………………………………