2023－2024学年海南省高考全真模拟卷（六）数学1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．2．考查范围：高考全部内容．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数m的取值范围为（）A．（－1，0） B．（0，1） C．[0，1] D．R3．已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（）A．－8 B．－4 C．0 D．45．等差数列的前n项和为，已知，则的前100项中，为整数的各项之和为（）A．1089 B．1099 C．1156 D．11666．在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面BAC，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则△OBF的面积为（）A． B． C． D．8．若，则的大小关系为（）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（）A．68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78B．若一组数据的方差为0.2，则的方差为1C．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性D．若变量，则10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．B．直线是函数的一条对称轴C．当时，x的取值范围为D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为______．13．设分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为______．14．已知数列是递减数列，且，则实数t的取值范围为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D在AC上，且AD＝BD＝2DC，求．16．（15分）2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．（Ⅰ）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计（Ⅱ）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求P（X＝k）取得最大值时的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．17．（15分）如图，在四棱柱中，四边形为菱形，四边形ABCD为矩形，AB＝4，，，二面角的大小为60°，M，N分别为BC，的中点．（Ⅰ）求证：∠NMC＝90°；（II）求直线与平面BCN所成角的正弦值．18．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为．（I）求C的标准方程；（Ⅱ）过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．19．（17分）已知函数，且的图象在处的切线斜率为2．（I）求m；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若有两个不等的实根，求证：．2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（六）数学·答案1．D ∵，∴，∴，在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．2．D 由中恰有两个元素，可知，故，即．又方程的，故在R上恒成立，故实数m的取值范围为R，故选D．3．B 的展开式的通项为．令，得，则的常数项为．∴当时，常数项为60；当常数项为60时，，∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件，故选B．4．A 如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，，，故选A．5．C 设等差数列的公差为d，由，解得，所以．要使为整数，则是3的倍数，又，所以可令．记的前100项中的整数项构成的数列为，则，所以的前34项的和，故选C．6．A根据题意作出图形如图所示，连接OB，，则，显然四面体的外接球球心O为AC的中点．．设点O到平面的距离为h，则由，可得，解得，故选A．7．B根据题意得直线，由得设，则，故，解得，代入（*）式，解得．将代入直线的方程中，解得，故，故选B．8．C设，则，∴时，，在上单调递增．∴，即，∴，．设：，则，∴当时，，即在上单调递增．∴，，∴，即．综上，故选C．9．CD对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，第8位数字是78，第9位数字是81，故这组数据的第80百分位数是，故A错误；对于B，的方差为，故B错误；对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；对于D，∵，∴，故D正确，故选CD．10．AD对于A，由图可知，∴，∴．又，即，∴，∴．∵，∴，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，即\，∴，解得－，故C错误；对于D，当时．当时，单调递减；当时，单调递增．∵，，，∴要使方程在上有两个不相等的实数根，则，故D正确，故选AD．11．ACD依题意，心形线C的直角坐标方程为，过原点．由，可知三点共线，可设直线，由消去y，得．不妨设，则．∴，故A正确；，当时，，故B错误；设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边，则心形线C的方程转化为，即，∴，又，∴，故C正确；由，可知．令，则心形线C的方程可化为：，∴，当，得或0，当时，方程无整数解；当时，∴C上有4个整点（－1，0），（1，0），（0，0），（0，－2），故D正确，故选ACD．12．根据题意得，．设切点坐标为，则，所以切线的方程为，将点（0，0）代入，可得，整理得，故，解得，故，即切线的斜率为．13．不妨设，，则．在中，由余弦定理得，．由，且，可得，即，所以，所以内切圆半径为，所以的内切圆的面积为．14． ∵数列是递减数列，∴，即，化简得．当时，的值有正有负，∴不恒成立；当时，，，∴不成立；当时，由题意得，，∵当时，取得最小值，即有，解得，∴实数t的取值范围为．15．解：（I）∵，∴，∴，由正弦定理得，，即，故．∵，∴，∴，故．（Ⅱ）∵，∴，∴，即，整理得，∴，即，∴．16．解：（I）由题意，完成列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．，∴依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（Ⅱ）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，∴随机变量，∴．要使取得最大值，则需解得，∵，∴当时，取得最大值．17．解：（I）取AD的中点O，连接OM，ON，AN，DN．在菱形中，易知，且又，故即为二面角的平面角，故．所以为等边三角形，所以．显然，且，所以平面MON又平面MON，所以，又，所以，故．（Ⅱ）由（I）可知，平面ADN．又平面ABCD，，所以平面平面ABCD．又平面平面，平面ADN，且，故平面ABCD，故OA，OM，ON两两相互垂直．以O为原点，以OA，OM，ON所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，．设平面BCN的法向量，则．，取，则．记直线与平面BCN所成角为，则，故直线与平面BCN所成角的正弦值为．18．解：（I）设双曲线C的半焦距为c，根据题意得解得∴C的标准方程为．（II）当直线和斜率均存在时，设直线的方程为，，，中点由消去，得．∴，．∴．设直线的方程为，，中点．同理可得．∵，∴，．当时，，此时，直线MN的方程为当时，，此时直线MN的斜率，直线MN的方程为，即．此时直线MN过定点．当直线和其中一条直线的斜率不存在时，易知MN所在直线为x轴．综上所述，直线MN过定点．19．解：（I）因为，所以，根据题意得，解得．（II）由（I）可知，，又，所以，故的单调递增区间为R，无单调递减区间（Ш）由有两个不等的根（不妨设），可得，整理得．令，则，故在上单调递增，因为，所以，即，那么，结合（*）式，可得．下面证明，等价于证明．令，设，，则在（0，1）上单调递减，所以，故，即得证，由不等式的传递性知，即．