数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则（）A． B． C．3 D．2．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．某食品公司共有A，B，C三条生产线，产量占比为3：2：5，为检查新一批次食品添加剂使用量是否合格，用分层随机抽样方法进行调查现从这3000件食品中抽检5%，则不同的抽样方法共有（）A．种 B．种C．种 D．种4．若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．5．已知为等差数列的前n项和，且，则（）A．2600 B．2480 C．1660 D．14606．已知平面向，，，，，，若，则的最大值为（）A．8 B． C． D．7．网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶而必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（参号数据：，）A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元8．在空间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面、已知菱形ABCD的边长为2，，P在菱形ABCD的内部及边界上运动，空间中的点Q满足，则点Q轨迹所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目婴水，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知，下列说法正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（）A．N点的坐标为B．C．D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则11．p为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（）A．面积的最大值为B．的离心率为C．若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共IS分）12．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）13．我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数，则它的焦点坐标为______．14．如图，正五角星是一种蕴含美感的图形，在正五角星中可以找到很多对线段，它们的长度关系都符合黄金分割比，我们可以把正五角星看成五个顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成的图形，已知正五边形的边长，则该正五角星的边长AB长为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．（1）数据显示，该地区年龄在岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；（2）对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．年龄骑行频率年龄合计岁岁次/周次/周合计附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．（本小题满分15分）如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．（1）证明：O，P，三点共线；（2）求直线与平面PAB所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知，其中为自然对数底数．（1）讨论的单调性；（2）已知有极值，求的所有极值之和的最大值．18．（本小题满分17分）平面上一动点满足．（1）求P点轨迹的方程；（2）已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并说明：为定值19．（本小题满分17分）材料一：有理数都能表示成（s，，且，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为材料二：我们知道．当时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即；为提高精确度。可以用更高次的多项式逼近指数函数．设对等式两边求导，得对比各项系数，可得：，，，…，；所以，取，有，代回原式：．材料三：对于公比为的等比数列，当时，数列的前n项和阅读上述材料，完成以下两个问题：（1）证明：无限循环小数3.7为有理数；（2）用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CDAABCDA【解析】1．因为为纯虚数，所以且，即故选C．2．“，”为真命题，当时，，则，故选D．3．3000件食品中，A，B，C三条生产线的生产量分别为900件、600件、1500件，抽检总量为件，分层随机抽样，分别从A，B，C三条生产线抽检，、件，按照分步乘法计数原理，共有种方法，故选A．4．配方可得，圆，点在圆O外，所以，即，解得或，故选A．5．因为为等差数列，所以，当时，，所以，，所以，公差为6；，且也为等差数列，公差，所以，故选B．6．如图，令，，，由余弦定理得，，，因为，所以，则C点在圆E的优弧AB上运动，其中，，，，则，所以，所以故选C．7．该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米，则纸箱的体积，表面积，成本为，则，令，得，则．当时，，当时，，当时，P有最小值，所以（元），故选D．8．Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD）如图所示，其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，高为2，底面半径为1，体积为；AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，半径为1，，，，所以这四个区域的几何体组成一个完整的球，体积为；ABCD区域内的几何体为棱柱，高为2，体积为，所以Q的轨迹所围成的几何体体积为，故选A．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABCBCDACD【解析】9．因为在上单调递增，所以，即移项得，故A正确：由基本不等式，取等，，故B正确；，则，故C正确；若，则，不一定成立，故D错误，故选ABC．10．N为为AB的中点，则，，所以N点的坐标为，故A错误；由，可得，故B正确；，又因为，，则，所以，故C正确；有向线段，，，所以，故D正确，故选BCD．11．如图，在中，由正弦定理，，则，即，所以，，最大值为，故A正确，B错误；由题意可得，的．斜率不为0，设，联立方程得，恒成立，，，设与的内切圆半径分别为，，因为，，所以，即，，，，所以，即，，所以，C正确；作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，设，，，所以，，则，得，同理可得，所以，故D正确，故选ACD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案448【解析】12．展开式的通项为，令，解得，故常数项为．13．，将函数图象向左平移个单位，得到的图象，即，它表示的曲线是以为焦点的抛物线，则原函数图象的焦点坐标为．14．如图，在等腰三角形ABC中，，，取的角平分线交AC于点D，则，，则，且，设，因为，即，解得，则，正五角星的边长为．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）设A＝“此人年龄在[内”，B＝“此人是自行车骑行者”，则．（2）由频率分布直方图可得，这100位自行车骑行者中，年龄岁的共有（人），其中骑行频率次/周的有（人），年龄岁的有26人，骑行频率次/周的有（人），列联表如下：骑行频率年龄合计岁岁次/周181230次/周561470合计7426100零假设为：骑行频率与年龄之间无关联．根据列联表中的数据，得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为骑行频率与年龄之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．16．（本小题满分15分）（1）证明：，所以，而，所以，即O，P，三点共线．（2）解：连接，，，所以，，，，由余弦定理得，同理可得，．又为BD的中点，，．，，即．如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，由（1）可得，P为线段三等分点，所以，，，，设平面PAB的法向量为，则可取．设直线与平面PAB所成角为，则，直线与平面PAB所成角的正弦值为．17．（本小题满分15分）解：（1），令，解得或．①当，时，，在和上单调递增，在上单调递减；②当时，，在R上单调递增；③当时，，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得，当时，无极值，当时，有两个极值，分别为，，，令，，，，令，得，在上单减，在，上单增，在上单减，当时，，，，即为所求．18．（本小题满分17分）解：（1）由题意可得，动点P到定点的距离比到定点的距离大2，由双曲线的定义，P点轨迹是以，）为焦点的双曲线的左支，设，则，，，所以的方程为．（2）如图，不妨设点P在第二象限，①当的斜率不存在时，，令，解得，则，此时，在中，，，，即；②当的斜率存在时，令的倾斜角为，的倾斜角为，则，，假设成立，即，则有，即．又，，又点P的坐标满足，即，，，假设成立，当时，有成立．此时，由对称性可知，，而，为定值．19．（本小题满分17分）证明：（1），当时，，故为有理数．（2）由题可得，，取，有，假设e为有理数，不妨令（，且，s与t互质），等式两边同乘t!得：，易得，为正整数，也为正整数，则亦为正整数，但，不可能为正整数，矛盾，所以e为无理数．