西山区2024届高三第三次教学质量检测数学试题卷（本试卷共四个大题19个小题；考试用时120分钟，满分150分）考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合，，若，则（）A．0 B．1 C．－1 D．3．记为等差数列的前n项和．若，，则（）A．10 B．20 C．30 D．404．华为云“盘古”气象大模型是世界上首个精度超过传统数值预报方法的AI模型，对比传统方法，预测速度提高10000倍以上，可秒级完成对全球气象的预测．由“盘古”模型预测，某地某天降雨的概率是0.5，连续两天降雨的概率是0.3，已知某地某天降雨，则随后一天降雨的概率是（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.65．已知椭圆C：的左焦点为F，点P在椭圆C上，若的最大值是最小值的2倍，则椭圆C的离心率（）A． B． C． D．6．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，将的终边逆时针旋转45°之后与圆的交点为B，则点B的横坐标为（）A． B． C． D．7．每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）A． B． C．e D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线a，b，c与平面，，，下列说法正确的是（）A．若，，，则a，b异面B．若，，，则C．若，，则D．若，，则10．直线与函数有且仅有三个交点，从左往右依次记作点A，B，C，则下列说法正确的是（）A．的取值范围是 B．有且仅有2个极大值点C．在上单调递增 D．若，则11．设O为坐标原点，直线l过抛物线C：的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（）A． B．的最小值为C．若，则 D．x轴上存在一点N，使为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知向量，满足，，则______．13．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要______立方米水制成．（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，，）14．函数的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且成等差数列，，．（1）求a，c；（2）点D在AC上，从下列三个条件中选择一个作为已知，求BD的长．条件①：；条件②：；条件③：．16．（15分）直三棱柱中，，M为AC的中点，N为的中点，．（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值．17．（15分）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．（1）若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：方案一：只选择A选项；方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．18．（17分）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求双曲线E的方程；（2）是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．19．（17分）我们把（其中，）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即，其中k，，，，，……，为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．（1）解方程：；（2）设，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．西山区2024届第三次高三教学质量检测数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ACCDBBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ACACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12．213．11.114．四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（书写合理尽量给分）解：（1）由，且成等差数列，则（Ⅰ）又，，则，代入得（Ⅱ）联立（Ⅰ）、（Ⅱ）得，，（2）若选①，过点B作AC边上的高BE，因为BD平分，所以，得，所以，；在中，，所以；在中，，则．若选②，过点B作AC边上的高BE，由可得，，则，又，所以，；在中，，所以；在中，，则．若选③，由，所以，；在中，，所以；在中，，则．16．（15分）（1）证明：设直线与相交于点O，因为三棱柱为直三棱柱，又，所以，，，所以，所以，又，则，即；又，，所以平面；所以，又，，所以平面，则，又，所以．（注：第一问也可直接建系，按高考评卷标准，有系无论对错既给1分，（1）（2）问不重复给建系分）（2）由①得，建立空间直角坐标系如图所示：设，则，，，，，则，，则平面的法向量，则，，则平面的法向量，，所以平面与平面所成角的余弦值为．注：建系，只要过程完整，无论对错可给3分，多对一个法向量多给2分．17．（15分）解：（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：设“某题的答案是AB，该考生得分”，则．（2）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z．①∵，．∴X的分布列为：X23P则：．②∵，，，∴Y的分布列为：Y046P则：．③∵，，∴Z的分布列为：Z06P则：．∵，∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．18．（17分）解：（1）由题知：，又，解得：，；则E的方程为．（2）设AB中点为，由可知为等腰三角形，，即，可得，（Ⅰ）设，，则：，①－②化简整理得：，即；可得（Ⅱ）联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得：；所以直线l的方程为：．（第二问解法多样，几何法，联立方程组都可求解，其他方法参考上面过程合理给分即可）19．（17分）解：（1）观察可知：是方程的一个根；所以：，由待定系数法可知，，，；所以，即或，则方程的根为，，．（2）（i）由可知：是方程的一个根；所以：，由待定系数法可知，，，；所以．（ii）令，即，点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点，等价于是方程的最小正实根；由（i）知：是方程的一个正实根，且，设，由，，，可知为开口向上的二次函数；又因为，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t；又，可得，所以；当时，，由二次函数单调性可知，即是方程的最小正实根．