2023—2024学年度下期高2024届入学考试理科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.9 B.8 C.7 D.62.若函数是定义在上的偶函数，则（）A. B. C. D.23已知复数z满足，则（）A. B. C.1 D.4.已知，则（）A. B. C.30 D.605.已知正项等差数列的前项和为，且，．则（）A B.C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.9.设函数若存在且，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.10.在四面体中，，，且，则该四面体的外接球表面积为（）A. B. C. D.11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.A.54 B.53 C.47 D.4612.定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．14.在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，_____________．15.设数列满足，，，令，则数列的前100项和为___________．16.已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联.18.在锐角中，角所对应的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的取值范围．19.如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.（1）证明：直线平面；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.20.设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于两点.（1）求证：;（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21.设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）若当时，恒有，求实数a取值范围；（3）设时，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程，曲线的直角坐标方程；（2）曲线与曲线，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设分别为曲线与曲线上的动点，求线段的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数最小值为，若且，求证：．2023—2024学年度下期高2024届入学考试理科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】##0.5【14题答案】【答案】##【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【17题答案】【答案】（1）没有（2）分布列见解析，【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【20题答案】【答案】（1）见解析（2）是定值，定值为【21题答案】【答案】（1）（2）（3）证明见解析（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】【22题答案】【答案】（1）曲线极坐标方程，曲线的直角坐标方程为（2）无公共点，【选修4-5：不等式选讲】【23题答案】【答案】（1）（2）证明见解析