数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CBABDBBA【解析】1．因为，所以，故选C．2．由双曲线的渐近线方程为可得直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线仅有一个公共点，故选.3．由图象可得将，可得，故选A．4．设该运动员投篮次有次命中，则，则，，令，则，故选B．5．因为函数在上单调递减，所以，又函数在上单调递增，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，综上有，故选D．6．因为，又能被整除，所以能被整除，当时符合，当，或时均不符合，故选B．图17．如图1，设圆的半径为，则由题意可知，与圆的周长相等，即，则，设当点与点重合时，圆心为，分别作出在轴上的投影，则圆从初始位置滚动到圆，恰好滚动了个圆周，所以，则，故选B．图3图28．如图2，过点作，分别交于点，则动点在平面上的射影轨迹为线段，设当与重合时，有；当与重合时，有，则由为定长可知动点的轨迹是以为圆心，为半径且圆心角为的圆弧．如图3，在所在平面建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，直线：，直线：，联立直线与直线方程可求得，则，又，由此可得，所以，所以动点的轨迹长度为，故选A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADBCDABDBCD【解析】9．2022年1月至2022年12月全国居民消费价格同比均大于0，说明2022年全年每个月都比2021年同月的居民消费水平高，因此2022年全年比2021年全年的全国居民消费价格高，故A正确；将2022年1月至2022年12月全国居民消费价格同比按从小到大顺序排列后，下四分位数是第三个数与第四个数的平均数，即，故B错误；2022年8月至2022年12月中，9月与10月的全国居民消费价格环比均大于0，说明全国居民消费价格一直在上升，11月的环比小于0，说明11月对比10月消费价格有所下降，12月环比等于0，说明12月与11月持平，因此这5个月中，10月的全国居民消费价格最高，故C错误；设2022年2月的全国居民消费价格为，则3月的全国居民消费价格为，4月的为，5月与6月的为，所以2022年6月比2022年2月的全国居民消费价格高，故D正确，故选AD．10．因为，令，则，解得，即，则，其中所有不等式“”成立均当且，故A错误，B正确；对两边同除以可得，由可得，所以，当且仅当时，“”成立，故C正确；由可得，则，当且仅当即时，“”成立，故D正确，故选BCD．11．当点与原点重合时，直线的斜率为，设，则，，将代入抛物线方程，可得，，所以抛物线方程为：，A正确；因为，若的中点纵坐标为，则，故C错误；同理，设直线的斜率为，则，，则，，因为，所以，故B正确；由可得，，即（*），由，可得（*）式等价于，即，化简得，当时，，故D正确，故选ABD．12．由题意，，．在处的切线为：，由题意，经过点，即，即，所以，故A错误；又，而，故，则，当且仅当即时“”成立，又，则，则，…，所以恒成立，B正确；又，由可得，所以为单调递增数列，C正确；因为，为的两个零点，所以，则，由韦达定理可得，则，同理可得，所以，则为公比为2等比数列，所以，故D正确，故选BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案【解析】13．.14．设在直线上的投影为点，则，所以当且在射线上时，最大，此时四边形为菱形且，所以，则.15．设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则，，所以.图416．如图4，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，则由条件可得，，设，则，，则，当且仅当，即时，“”成立，又因为在上为增函数，所以坐在距离幕布米处，视角最大.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）由表中数据可得 ……………………………………………………（3分） …………………………………………（5分）关于的线性回归方程是 …………………………………（6分）（2）令，解得 …………………………………（8分）预测该农户在第12个月能被评选为“优秀带货主播”. …………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：平面，平面又，，平面，平面平面． …………………………………………（2分）又平面．又平面平面平面． …………………………………………（4分）（2）解：法一（坐标法）：如图5，以为原点，过点且垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，图5图3设，则． …………………………………………（6分）设平面的法向量为则可取取平面的法向量为． …………………………………（8分）设平面与平面所成角为则，两边平方经整理可得 ……………………………………………………（10分）解得或（舍去），当平面与平面所成角为时， …………………………………………………………（12分）法二（几何法）：如图6，由可得平面，设为平面与平面ABC的交线，则由（1）可得平面，而，平面图6图3又为平面与平面所成角，，是的角平分线． ……………………………………（8分）在中，设点到的距离为，则由可得（也可直接由角平分线定理得到）， …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）如图7，连接，则当时，在中，由余弦定理可得图7图3 ………………………………………………………………（2分）在中，由勾股定理可得， …………………………………………………………（4分） …………………………………………（6分）（2）如图8，连接，作于点，则由可得为的中点，设，则图8图3…………………………………………………………（8分）在中，由正弦定理可得又 …………………………………………（11分）由可得， …………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：法一：由①可得② ………………………………………（2分）②−①，可得经整理可得，即 …………………………………………（4分）为等差数列.又由①可得，，即 …………………………………………（6分）法二：对两边同除以可得，即 …………………………………………………………（2分）设，则当时， …………………………………………（4分）又， …………………………………………（6分）法三：数学归纳法（略）（2）证明：由可得， …………………………………………………………（7分），两边同除以，可得，即 ……………………………………（10分） …………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：，令，则又单调递增，当时，，单调递减；当时，，单调递增，为的极小值点. …………………………………………（3分）令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减，，即极小值点的最大值为 …………………………………………（6分）（2）证明：令则 …………………………………………（7分）由（1）可得，即又，则 …………………………………………（9分）则 …………………………………………（10分）当且仅当时，“”成立，在上单调递增.又在上恒成立，即当且时，恒成立. …………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：，， …………………………………………（2分）椭圆的方程为：. …………………………………………（4分）（2）证明：①当斜率为时，，分别为椭圆的左、右顶点，则，，，则直线AM：，令，则，点为，； …………………………………………（6分）②当斜率不为时，设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立：消去可得，令，解得．设，，则由韦达定理可得 …………………………………………（8分）：，令，得，，又 …………………………………………（9分），又，，且，，综上，为定值. …………………………………………（12分）