如皋市2024届高三1月诊断测试数学试题2024.1注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟.命题：马超一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11.抛物线yx2的焦点坐标为（▲）.21111A.,0B.,0C.0,D.0,82822.在等比数列an中，a1ax82，a3ax281，且前x项和Sx121，x（▲）.A.4B.5C.6D.73.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，则（▲）.A.若m//，n//，则m//nB.若m，n，则mnC.若m，mn，则n//D.若m//，mn，则n4.有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（▲）种停放方法.A.72B.144C.108D.965.已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且CD3CE2CA，若ACxAByBE，则xy（▲）.A.5B.7C.9D.11x2y26.函数yfx的图象为椭圆C:1ab0x轴上方的部分，若fst，fs，fst成a2b2等比数列，则点s,t的轨迹是（▲）.A.线段（不包含端点）B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分高三1月诊断数学试题第1页（共4页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}π353π7.已知x0,，sinxcosx，则tanx（▲）.454A.3B.3C.5D.222双曲线：xy的左、右焦点分别是，，离心率为6，点是的8.C1(a0,b0)F1F2P(x1,y1)Ca2b22右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若上一点满F2F1PF2M|MO|2CT足，则到的两条渐近线距离之和为（）F1TF2T5TC▲.A.22B.23C.25D.26二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．29.已知复数z1,z2是关于x的方程xbx102b2,bR的两根，则（▲）.z1RA.z1z2B.z2若，则33C.z1z21D.b1z1z212210.若函数fx2sinxlog2sinx2cosxlog2cosx，则（▲）.πA.fx的最小正周期为πB.fx的图象关于直线x对称4πC.fx的最小值为1D.fx的单调递减区间为2kπ,2kπ，kZ4111.设a为常数，f(0)，f(xy)f(x)f(ay)f(y)f(ax)，则（▲）.211A.f(a)B.f(x)恒成立22C.f(xy)2f(x)f(y)D.满足条件的fx不止一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.集合AxR|ax23x20,aR，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是▲.13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为▲时，圆锥的体积最大，最大值为▲.3814.函数f(x)xR的最小值▲.2sin2x13cos2x2高三1月诊断数学试题第2页（共4页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）13设f(x)alnxx1，曲线yf(x)在点(1,f(1))处取得极值.2x2（1）求a；（2）求函数f(x)的单调区间和极值.16.（本小题满分15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．17.（本小题满分15分）π如图，在三棱柱ABCABC中，ACBB2BC2，CBB2CAB，且平面ABC平面111113B1C1CB.（1）证明：平面ABC平面ACB1；（2）设点P为直线BC的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）2已知抛物线E：y4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足FAFBFC0，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2.高三1月诊断数学试题第3页（共4页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}19.（本小题满分17分）n对于给定的正整数n，记集合R{|(x1,x2,x3,,xn),xjR,j1,2,3,,n}，其中元素称为一个n维向量.特别地，0(0,0,,0)称为零向量.设，n，n，定义加法和数乘：kR(a1,a2,,an)R(b1,b2,,bn)Rk(ka1,ka2,,kan)，(a1b1,a2b2,,anbn).对一组向量，，，，若存在一组不全为零的实数，，，k，使得12…s(sN,s…2)k1k2…s，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．k11k22kss0（1）对n3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①(1,1,1)，(2,2,2)；②(1,1,1)，(2,2,2)，(5,1,4)；③(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1).（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．（）已知m(m2)个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：3…12…mm1①如果存在等式，则这些系数，，，或者k11k22kmm0(kiR,i1,2,3,,m)k1k2…km全为零，或者全不为零；②如果两个等式，同k11k22kmm0l11l22lmm0(kiR,liR,i1,2,3,,m)kkk12m时成立，其中l10，则.l1l2lm高三1月诊断数学试题第4页（共4页）学科网（北京）股份有限公司{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}如皋市2024届高三1月诊断测试数学参考答案2024.01一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案DBBADAAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.题号91011答案ACDBCDABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.题号1213①13②14答案9616349a0或a…832713四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）13a13（1）f(x)alnxx1，则f(x)，2x2x2x22又f(1)0，故可得a20，解得a2；13(3x1)(x1)（2）由(1)可知，f(x)2lnxx1，f(x)，2x22x21令f(x)0，解得x，x1，13211又函数定义域为(0,)，故可得f(x)在区间(0,)和(1,)单调递减，在区间(,1)单调递增.331故f(x)的极大值为f(1)0，f(x)的极小值为f()22ln3.316.（15分）32332131（1）X的可能取值为1，2，3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，5541054310故抽取次数X的概率分布为：X123331P510103313E(X)123.510102333（2）每次检验取到新球的概率均为，故X~B5,，所以E(X)53.555高三1月诊断测试数学参考答案第1页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}17.（15分）（1）证明：因为AC2BC2，所以BC1，因为2CAB，所以CAB.3612BCAC在ABC中，，即sinB，sinAsinBsin6所以sinB1，即ABBC.又因为平面ABC平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC，AB平面ABC，所以AB平面B1C1CB.又B1C平面B1C1CB，所以ABB1C，在BBC中，BB2，BC1，CBB，1113222所以B1CB1BBC2B1BBCcos3，即BC3，31所以B1CBC.而ABB1C，AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，所以B1C平面ABC.又平面，所以平面平面B1CACB1ABCACB1.（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，以C为坐标原点，分别以CA，CE，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，13则C(0,0,0)，B(,,0)，A(2,0,0)，B(0,0,3)，2211333所以P(,,0)，A(,,3)，44122533所以AP(,,3)，144平面ACB1的一个法向量为n(0,1,0)，设直线A1P与平面ACB1所成的角为，则直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为：高三1月诊断测试数学参考答案第2页共4页{#{QQABSQQQgggIAAJAAAgCAw1YCAGQkAAAAKoOhAAAIAAAiAFABAA=}#}33|A1Pn|433sin|cosAP，n|.1|AP||n|25271013161618.（17分）1（1）解：设直线AB的方程为y2xt，与y24x联立得y22y2t0，48t0，得t，2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则y1y22，y1y22t，1所以xx(yy2t)1t，12212由题意知F(1,0)，因为，，，，FAFBFC0FA(x11,y1)FB(x