2023~2024学年度第一学期高三年级期末调研测试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．A2．B3．C4．C5．A6．B7．D8．C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9．BD10．BC11．ACD12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。24313．(4)(2)10xy−++=22（或xyxy22+−++=84100）14．−15．116．a32516四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。．解：（）设等比数列的公比为．171anq41Saaaq=++=++=4414，得q=2或q=，……………………………………………2分3123q21当q=2时，a=2；当q=时，a=8.由a为递增数列，则a=2，q=2，121n1nn−1所以an==222．………………………………………………………………………………4分nnn−−12（2）设Tnn=++++−123252(21)2，Tn=++++−123nnn−−−123252(21)1n2T相减得：n=+++++−−22(2222nnnn−−−)(21)1231n…………………………………………7分22(12)−n−1=+−−22(21)nn=+−−−2(24)(21)nn+1n=−+32(23)nn…………………………9分12−n+1所以Tnn=32−(4+6)．…………………………………………………………………………10分18．（1）连接AC11，交BD11于点H，A1111BBC1在梯形ABCD1111中，AB11=1，BC11=2，CD11=4，所以==，B1111CCD2又=A1=B1CB11C1D190，所以△ABCBCD111∽△111，则BACCBD111=111，因为BACACB111+111=90，所以CBDACB111+111=90，则=C11HB90，即BDAC11⊥11．…………………………………………………………………3分直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD1111，因为BD11平面ABCD1111，所以B1D1⊥AA1．数学答案第1页，共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}因为AA1、AC11平面AA11C，AA1111ACA=，所以BD11⊥平面AA11C．……………………5分因为AC1平面，所以AC1⊥B1D1．………………6分z法二：以{C,,}DCBCC1为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，D1Cx−yzC(0,0,0)D(4,0,0)B(0,2,0)A(1,2,0)C1HB1C1(0,0,2)，D1(4,0,2)，B1(0,2,2)，A1(1,2,2)．…………3分A1（1）因为AC1=−(1−,2,2)，BD11=−(4,2,0)，xDC所以ACBD=−−(1,2,2)−(4,2,0)=−++=4400，111ABy所以AC111B⊥D，即AC111B⊥D．…………………………6分（2）设平面B1CD与平面B11CD的一个法向量分别为mx=yz(,,111)与nx=yz(,,222)，因为CB1=(0,2,2)，CD1=(4,0,2)，CD=(4,0,0)，所以m⊥CB1mCByz=+=111220由得，则x1=0，令y1=1得z1=−1，所以m=−(0,1,1)．…8分m⊥CDmCDx==401nCB⊥1nCByz=+=122220由得，令x2=1，则z1=−2，y2=2，所以n=−(1,2,2)．…10分nCD⊥1nCDxz=+=112420mn++0−11−2(1)(2)22所以cos,mn===，|||mn|01(222222++1)12(−++2)−322所以二面角DB−−CD的平面角的余弦值为．……………………………………………12分11319．解：（1）在△ABC中，b=2，c=3，abc222+−11由余弦定理得cosC==，即411200aa2−−=，所以a=4．……………………2分216ab11315sin1CC=−=−=cos1(22)，……………………………………………………………4分1616ac4315由正弦定理=，得=，所以sinA=．………………………………5分sinACsinsinA315416（2）因为AD=2DB，AB==c3，所以AD=2，DB=1．在△ABC中，由余弦定理得baaB222=+−323cos，即aba22−+=96，22125在△BCD中，由余弦定理得()2=a2+12−2a1cosB，即aa2−=2，33所以a2−b2+9=3a2−25，即2ab22+=34①………………………………………………8分数学答案第2页，共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}sin2sinCB32b因为tan2taCB=n，所以=．又c=3，由正弦定理得=，coscCBoscoscCBosabcacb222222+−+−2cos3cosbCB=，即23b=，则ab22+=327②………………11分22abac联立①②可得a2=15，所以a=15．……………………………………………………………12分20．（1）记活动参与者“第1次操作时取到白球”为事件A，“第2次操作时取到白球”为事件B，12112+11则PA()=，PA()=，PBA(|)==，PBA(|)==．……………………………2分33314+314+12211所以P()()()()()(|)()(|)BP=+=+=+=+=ABABPABPABPAPBAPAPBA，343431所以活动参与者第2次操作时取到白球的概率为．……………………………………………5分3（2）X=2,3,4,5，…………………………………………………………………………………6分12312121221221PX(2)===，PX(3)==++=，34510345345345523121312332342PX(4)==++=，PX(5)===，…………………10分345345345103455则随机变量X的概率分布为23451132P1051051132所以，随机变量的数学期望EX()23454=+++=．………………………12分105105c2bac222−1121．（1）因为e==，所以==−=−=11e2，a2aa222241xy22结合+=1可得a2=6，b2=3，所以椭圆E的方程为+=1．………………………2分ab2263113直线l：yx+2=−(−1)，即yx=−−，代入得xx2+2−1=0，222设Mxy(,)11，Nxy(,)22，则xx12+=−2，xx12=−1，1所以|MN|=+1k2|x−=+x|1k2(x+x)2−4xx=+−−−−=1()2(2)24(1)10，1212122|2++23|7又点A(2,1)到直线l：xy+2+3=0的距离d==5，55数学答案第3页，共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}1177所以△AMN的面积SMNd===||1052．……………………………………5分225251010（2）当直线l斜率不存在，即l：x=1时，y2=，不妨取M(1,)，N(1,)−，2221010−1−+110110因为A(2,1)，B(2−−,1)，则k==−21，k==−2(1)，1122−21232+10110131所以kkkkk−=−=−−−==2(2)(1)(1)．…………………………………7分12212232322xy22当直线斜率存在时，设：yk+x=2−(1)，代入E：+=1得63(21)4(2)2(2)60kxkkxk222+−+++−=，48kk2+282kk2++设Mx(y,)，Nx(,y)，则xx+=，xx=，…………………………8分11221221k2+1221k2+y1−1y2+1kx1−k−3kx2−k−1则k1k2−2k2=(k1−2)k2=(−2)=(−2)x1−2x2+2x1−2x2+2[(k−−+2)xk1](kxk−−1)(k2−2kxxkk)−−−−−+−(22)xkkxk(2)21==121212(x1−2)(x2+2)x1x2+2x1−2x2−4(2kk222)()()12−−−++−xxkkxxkx+=12121x1xxxx2121−+−+2()44(2kk2222222)(282)−+kkkk+()(48kkkkxkkx−−++−+)(1)(21)+−−274−+12111．===2222282kkkkkxkkx+2(48+)−+−+4(21)+−−41482−42+121综上可知，kkk−=2．…………………………………………………………………………12分1222法二：设：xmy−=+1(2)，代入：得(m2+2)y2+(4m2+2)4my+m2+450m−=，−−42mm24mm2+−45设，，则yy+=，yy=，………………………6分12m2+212m2+2设直线AN的斜率为k3，则y1−1y2−1y1−1y2−1kk13+=+=+x1−2x2−2my1+2m−1my2+2m−1(y−1)(mym+−+−21)(y1)(mym+−21)2myymyy+−+−+(1)()4m212211212==222(mymmym1+21)(−2+21)−myy12+(2mmyy−)(1+2)(21)+m−2m(4m2+−+−−−−−4m5)(m1)(4m22m)(4m2)(m2+2)12m2−+16m4===2，…10分mmm2(42+−+−−−+−++45)(2mmmmmmm2)(422)(4241)(22)6mm2−+82数学答案第4页，共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}yyyy+−−−11112211又2222，即，……………………………分kk23====−22k3=−11xxxy2222+−−−−22462422k211所以k1+k3=k1−=2，则21k122k4k−=，所以k122kk−=2．……………………………12分2k22法三：设直线l：xm−y=1+(2)，即xmy−+=−+21(13)，所以xmym−−−=−2(1)31．xy22椭圆E：+=1，即xy22+=26，所以(22)2(11)6xy−++−+=22，63即(2)2(1)4(2)4(1)0xyxy−+−+−+−=22，1则(x−+−+−+−2)222(y1)4[(x2)(y1)][x−−−=2m(y1)]0，31m−yy−−11整理得(22)()(44)330mmm−−−++=2，xx−−22yy12−−1144m−设直线AN的斜率为k3，则kk13+=+==2…………………………………10分xxm12−−−2222又，即，……………………………11分所以，则，所以．……………………………12分122．（1）当a=1时，f(x)=|ex−x|+x2，2设hxx()e=−x，由hx()e10=−=x得x=0，则hx()在(,0−)上单调递减，在(0,)+上单调递增，1所以hxh()(0)10≥=，则e0x−x，所以fxxx()e=−+x2．………………………………2分2因为fxx()e1=+−x在(,)−+上单调递增，且f(0)0=，则x(,0−)0(0,)+fx()－0＋fx()↘极小值↗所以，fx()的最小值为f(0)