保山市普通高中2023~2024学年上学期期末质量监测高三数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案DCABBBDA【解析】公众号：高中试卷君1．对于A选项是奇函数，但在上不单调，对于B选项是偶函数，对于C选项不是奇函数，只有D选项满足题意，故选D．2．由题意知，，，所以是的必要不充分条件，故选C．3．对于任一组数据加上同一非零常数，方差、极差和众数的个数均不变，故选A．4．设直线的方程为，与：联立方程得：，令，则，，所以，故选B．5．如图1，取的中点，连接，所以的取值范围是，即，又由图1，所以，故选B．6．如图2，连接，则由对称性可知四棱锥图2为正四棱锥，连接，交于点，连接，则可得，即是四棱锥外接球的球心，所以其表面积为，故选B．7．，故选D．8．由当时，，所以，又由切线不等式，故而，故选A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ACABDABCBCD【解析】9．对于A，由，所以，故选A；对于B，由，所以，故在复平面内所对应的点在第三象限，故不选B；对于C，，所以，故选C；对于D，，所以，故，不选D，故选AC．10．由题意知：故选ABD．11．对于A，令，则，故选A；对于B，，故选B；对于C，，则，故选C；对于D，由，，令，，故不选D，故选ABC．图4图312．如图3，过分别作的垂线，垂足分别是，由，所以，，对于A，沿对角线向上翻折的过程中，点在过与的垂面内，而过点与垂直的点在过与的垂面内，故而不存在某一位置使得，故不选A；对于B，当且仅当平面平面，此时三棱锥的体积最大，，故选B；对于C，延长交于点，由，所以为边图5的中点，故而此时的三棱锥可以放在如图4所示的长方体内，且此时在平面上的投影即为点，由，，，又，所以直线与平面所成的线面角为，故选C；对于D，的轨迹是以点为圆心，为半径的一段弧，由题意知，，所以在直角中，如图5，，则，所以的轨迹长度为，故选BCD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案；【解析】13．由题意知：平均年龄（岁）．14．由题意需满足又，所以．15．由，且，则，所以．图616．由题意知双曲线C的一条渐近线为，的坐标为，所以点到渐近线的距离.如图6，延长，两直线交于点，由，且是的角平分线，所以是等腰三角形，且，，又有为的中位线，所以，故而答案为2．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）由及正弦定理知：，即，所以，由，所以．……………………………………（5分）（2）由，所以，即，所以，即，当且仅当，所以，故而的面积的最大值为．…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）公众号：高中试卷君解：（1）由，所以，故数列的公比为3，所以，故而，所以．…………………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知，，当时，成立；当时，且，所以．………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图7，取的中点，连接，，由，所以，由，所以，图7又，所以平面，所以．……………………………………………（5分）（2）解：由（1）知：平面，即平面平面，由，，所以，又，所以为正三角形，取，的中点，则，两两垂直，图8建立如图8所示的空间坐标系；则，，，，所以，，，设是平面的一个法向量，所以即令，所以，，即；设是平面的一个法向量，所以即令，则，，即，设二面角的平面角为，所以，二面角平面角的余弦值为．……………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意可知，在一局比赛中，甲获得1分的概率是，乙获得1分的概率是，甲、乙均不得分的概率是，甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分是3∶0或4∶1，当比分是3∶0时，甲获胜的概率为；当比分是4∶1时，甲获胜的概率为所以甲恰在第五局结束后取得游戏胜利的概率为．……………（6分）（2）（ⅰ）由题意知：，，．（ⅱ）由题意知：当时，，所以，所以是以为公比，为首项的等比数列；所以．……………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：，所以，①当时，若，则，若，则，所以在上单调递增，在上单调递减；②当时，令得：或，且，所以在，上单调递增，在上单调递减；③当时，恒成立，所以在上单调递增；④当时，令得：或，且，所以在，上单调递增，在上单调递减．…………………………………………………………………………………………（6分）（2）由恒成立，即恒成立，所以，令，所以，故而在上单调递增，在上单调递减；所以的最大值为，所以．……………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由题意可知：，所以，又由，所以，所以；故而椭圆的方程为．…………………………………………………（3分）（2）如图9，令，，，，所以切线的方程为，切线的方程为，（切线方程证明思路：椭圆与直线方程联立，求解判别式即可得到结果）又点是切线，的公共点，图9所以故而所在的直线为，由题意可知，直线的斜率存在，不妨设为，则，所以直线的方程为，联立方程：解得：，联立方程：消除得：，所以，，又有，，，，所以．……………………………………………………………（12分）