成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．若复数z满足zi2i（i是虚数单位），则z（）A．12iB．12iC．12iD．12i2.已知集合Myy2x,x1，Nxyxx2，则MN等于（）A．(0,1]B．{2}C．[0,2]D．(,2]3．设等差数列an的前n项和为Sn，且S1326，则a3a8a10的值为（）A．6B．7C．8D．92y54.xxy的展开式中，x3y3的系数为（）xA．15B．5C．5D．15ππ5.函数fxAsinxA0,0,部分图象如图所示，则f（）2331A．B．22C．3D．36．已知圆C:x2y26x50与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为（）356353A．B．3C．3或D．或52527.已知函数f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)x3x1，则曲线yf(x)在x=1处的切线方程为（）A．2xy10B．2xy30C．2xy30D．2xy108．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）26A．2π22B．2π22626C．2π2D．2π322学科网（北京）股份有限公司119．执行如图所示的程序框图，若随机输入的a0,16，则输出的b,的概率为（）42315A．B．161613C．D．2410.若2x3，3y4，则下列选项正确的是（）3A．yB．xy21C．y2D．xy22x11.已知长方体ABCDA1B1C1D1在球O的内部，球心O在平面ABCD上，若球的半径为3，ABBC，则该长方体体积的最大值是（）A．4B．8C．12D．1812．曲线C是平面内与三个定点F11,0,F21,0和F30,1的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C关于x轴、y轴均对称；22②曲线C上存在点P，使得PF；33③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积最大值是1；④曲线C上存在点P，使得F1PF2为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A.②③④B.②③C.③④D.①②③④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）x2y813.若x、y满足约束条件0x4，则zxy的最大值为__________．0y3121114.设f(x)log，则不等式f(1)的解集为__________．x2xx2π24π15．已知sin，则cos2的值为__________．63316．如图，在三棱锥AA1B1C1中，AA1平面A1B1C1,A1B1C190，A1B12A1A2B1C12,P为线段AB1学科网（北京）股份有限公司的中点，M,N分别为线段AC1和线段B1C1上任意一点，则5PMMN的最小值为__________．三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高x160170175185190儿子身高y170174175180186n5555xixyiy2y885ˆi1参考数据及公式：xi880，xi155450，i，xiyi156045，bn，i1i1i1i12xixi1aˆybˆx(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)小明的父亲身高178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。18．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，AD//BC，侧面PAB面ABCD，PAABAD2，BC4，E为PD的中点.(1)求证：面PBC面PDC；(2)若二面角PADB的大小为60，求BE与面PBC所成角的正弦值.19.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动.经测量，边界AB与AD的长度都是14米，BAD60，BCD120.(1)若DC的长为6米，求BC的长；(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？学科网（北京）股份有限公司22xy1220．已知椭圆C:1ab0的离心率为，抛物线C:y4x在第一象限与椭圆C1交于点A1a2b2225，点F为抛物线C的焦点，且满足|AF|.23(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线xmy1与椭圆C1交于P,Q两点，过P,Q分别作直线l:xtt2的垂线，垂足为M、N，l与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围.121.已知函数f(x)xmlnxm，其中e是自然对数的底数．x(1)讨论fx的单调性；1(2)若m1，设关于x的不等式f(x)xlnxkxn对x1,e恒成立时k的最大值为xckR,n1,e，求nc的取值范围．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）x14cos22.已知圆C的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极y14sin坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；xtcos(2)若直线l的参数方程是(t为参数，为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，ytsin|AB|214，求l的斜率.23．已知函数fxx2.(1)求不等式fx2x5的解集；(2)若fx3xa恒成立，求a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）参考答案1．若复数z满足zi2i（i是虚数单位），则z（）A．12iB．12iC．12iD．12i【答案】A2i【分析】计算z12i，再计算共轭复数即可.i2i【详解】zi2i，则z12i，则z12i.i故选：A2.已知集合Myy2x,x1，Nxyxx2，则MN等于（）A．(0,1]B．{2}C．[0,2]D．(,2]2．C【分析】根据指数函数单调性得到M0,2，解不等式求出N0,1，利用并集概念求出答案.【详解】y2x0,2，故M0,2，令xx20，解得0x1，故N0,1，故MN0,2.故选：C3．设等差数列的前项和为，且，则的值为annSnS1326a3a8a10A．6B．7C．8D．9【答案】选A【解析】由，可得，则.S1313a726a72a3a8a103a762y5334.xxy的展开式中，xy的系数为xA．15B．5C．5D．15【答案】选A22y55y5【解析】xxyxxyxy，xx5的展开式通项为k5kkkk6kk，xxyTkxC5x(y)(1)C5xy22y5yxy的展开式通项为SCrx5r(y)r(1)rCrx4ryr2，xrx556k3k3由，可得，4r3r12y5因此，式子的展开式中，33的系数为3311.xxyxy(1)C5(1)C515xππ5.函数fxAsinxA0,0,部分图象如图所示，则f23学科网（北京）股份有限公司31A．B．C．3D．322【答案】选D3112【解析】由函数f(x)Asin(x)的部分图象知，A2，T3，4332121212解得T4，∴，又f2sin2，可得2k，kZ，2323232π1解得2k，kZ，∵||，∴可得，∴f(x)2sinx，626261∴f2sin2sin3.323636．已知圆C:x2y26x50与中心在原点､焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为（）356353.A．B．3C．3或D．或5252【答案】D【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.【详解】因为C:x2y26x50可化为x32y24，则圆C的圆心为3,0，半径为2，x2y2当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，则其渐近线方程为bxay0，a2b23bb24由题意得2，即5b24a2，所以，b2a2a25cb2435所以e11，aa255x2y2当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1，则其渐近线方程为axby0，b2a23ab25由题意得2，即5a24b2，所以，b2a2a24cb253则e11，aa242故选：D.7.已知函数f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)x3x1，则曲线yf(x)在x=1处的切线方程为A．2xy10B．2xy30C．2xy30D．2xy10【答案】选C【解析】因为x<0，f(x)x3x1，f(1)1，又由fx是偶函数，f(1)1，令x0，则f(x)x3x1，根据fx是偶函数，f(x)f(x)，得到x0时，f(x)x3x1，所以，x0时，f(x)3x21，f(1)2，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy30.8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）学科网（北京）股份有限公司26A．2π22B．2π22626C．2π2D．2π322【答案】C【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，其中半圆柱的底面半径为1、高为1，三棱锥OABC中，O在底面ABC的射影O1为AB的中点，BCAB，BC1，∴OAOB2，AC5，因为OO1面ABC，BC面ABC，所以BCOO1，又BCAB，ABOO1O1,AB,OO1面ABO，所以BC面ABO，又OB面ABO，故BCOB，∴OC3，∴AC2OA2OC2，∴OAOC，2111126∴该几何体的表面积为π11π12112121232π2.22222故选：C.119．执行如图所示的程序框图，若随机输入的a0,16，则输出的b,的概率为（）4231513A．B．C．D．161624【答案】B学科网（北京）股份有限公司1111【分析】根据b,可得a1,2，再根据循环结构可得当a1,16时均能得到b,，从而可得4242答案.111a1【详解】由框图可得若b,，则2，解得a1,2.42421故当a0,1，满足a2，可得输出b,1；211当a1,2时，满足a2，可得输出b,；4211当a2,4时，不满足a2，此时alog2