2023—2024学年度第一学期高三期末调研考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用格皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21.集合Axxx60，B2,3，则AB（）A.B.2C.3D.2,32.已知i为虚数单位，且zi1i，则zz（）A.1B.2C.3D.23.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.//，m//，则m//B.m，n，m//，n//，则//C.mn，m，n//，则D.m，m//n，//，则n2xm,x04.若fx是奇函数，则（）nx1,x0A.m1，n2B.m1，n2C.m1，n2D.m1，n25.已知锐角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心34的单位圆于点P,y，则cos的值为（）5334433433334A.B.C.D.10101010学科网（北京）股份有限公司346.已知向量a,，b为单位向量，且满足abb2a，则向量b在向量a方向的投影向量为55（）11343268A.,B.,C.,D.,5555105557.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式xxxxaee为yeaea，当其中参数a1时，该函数就是双曲余弦函数coshx，类似地有双曲正弦22exex函数sinhx.若设函数fxsinhxcoshx，若实数x满足不等式f3x4fx20，则x2的取值范围为（）A.4,1B.1,4C.4,1D.1,4x2y28.在椭圆1（ab0）中，F，F分别是左，右焦点，P为椭圆上一点（非顶点），I为a2b212S△IFF1△PFF内切圆圆心，若12，则椭圆的离心率e为（）12S3△PF1F21133A.B.C.D.3232二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7D.对于随机事件A与B，若PB0.3，PBA0.7，则事件A与B独立学科网（北京）股份有限公司110.先将函数fxsinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单212位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数gx的图象，则关于函数gx，下列说法正确的是（）A.最小正周期为B.在0,上单调递增423时其图象关于点对称C.x,gx,2D.,04221211.已知曲线C：mx21my21，则以下说法正确的是（）1A.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则0m2B.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是2,2212mC.曲线C为椭圆时，离心率为1mmD.若曲线C为双曲线，则浙近线方程为yxm112.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体SABC中，△ABC是直角三角形，B为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且AESC，SAAB2，SC26，BC4，则（）A.BC平面SABB.四面体SABC是鳖臑C.E是四面体SABC外接球球心14D.过A、E、F三点的平面截四面体SABC的外接球，则截面的面积是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆O：x2y24，过M1,3作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为______.学科网（北京）股份有限公司14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲可重复被抽取），则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为______.15.等差数列an前13项和为91，正项等比数列bn满足b7a7，则log7b1log7b2log7b13______.1b16.已知不等式ea3ax2b对任意的实数x恒成立，则的最大值为______.a四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cosAasinC3b.（1）求角C的大小；（2）若ACB的角平分线交AB于点D，CD4，AD2DB，求a.18.（12分）在菱形ABCD中，AB23，BCD60，E，F分别为AB，CD的中点，将菱形ABCD沿BD折起，使ACAB，M为线段BD中点.（1）求EMF大小；（2）求直线AC与平面EFM所成角的大小.19.（12分）n12在正项数列an中，a13，且a1a2anan.lgan（1）求证：数列是常数列，并求数列an的通项公式；nan31（2）若bn，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn.an1an1116420.（12分）学科网（北京）股份有限公司2p已知抛物线C：x2py（p0）的焦点为F，准线交y轴于点E，点H,p，若△EFH的面积2为1，过点H作拋物线C的两条切线切点分别为M，N.（1）求p的值及直线MN的方程；（2）点B是抛物线弧MN上一动点，点B处的切线与HM，HN分别交于点C，D，证明：MCHD.CHDN21.（12分）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第n步台阶的概率为Pn（0n8），记P01.（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列；（2）（ⅰ）求证：数列PnPn1（1n7）是等比数列；（ⅱ）求队员赢得吉祥物的概率.22.（12分）1已知函数fxexax2.2（1）若fx在0,上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若fx有两个极值点分别为x1，x2（x1x2），当1时，证明：x1x21.学科网（北京）股份有限公司高三期末调研数学试题参考答案一、选择题12345678BDDADCAB二、选择题9101112ACDABABDABD三、填空题54313.（或写为150°）14.15.1316.ln3652四、解答题17.【解】（1）由3ccosAasinC3b及正弦定理，可得3sinCcosAsinAsinC3sinB.因为sinBsinACsinAcosCcosAsinC，所以sinAsinC3sinAcosC.又sinA0，所以sinC3cosC，则tanC3，又C0,，所以C.3（2）∵CD为ACB的平分线，AD2DB，1BCdSBD设点D到BC和AC的距离为d，则△BCD2，S1AD△ACDACd2BCBD即，∴b2a，又∵SSS，ACAD△ACD△BCD△ABC1113∴4bsin4asinabsin，则有3aa2，2626232∴a23或a0（舍去），所以a23.（2）方法2：∵CD为ACB的平分线，AD2DB，由内角平分线性质定理，b2a，又∵C由余弦定理AB23a，∴B，323又∵AD2DB，∴BDa，又∵CD4，3学科网（北京）股份有限公司a2∴在Rt△CBD中，a216，∴a23.318.【解】（1）方法1：由已知得三棱锥ABCD为正四面体，棱长为23，又∵E，M，F分别为AB，BD，CD中点∴EMMF3又∵AFBF3，∴EF6∵EM2MF2EF2，∴EMMF，∴EMF90方法2：取BC中点N，连接DN∵ANBC，DNBC，ANDNN∴BC平面AND，∴BCAD又∵EM//AD，MF//BC∴EMMF，∴EMF90方法3：∵M为BD中点，∴AMBD，CMBD，∴BD平面AMC，∴平面AMC平面BCD，平面AMC平面BCDCM，∴过A作AOCM，则AO平面BCD，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过O作CD垂线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.B1,3,0，D1,3,0，C2,0,0，A0,0,221111EMAD1,3,22，MFBC3,3,022221EMMF330，∴EMMF，∴EMF904（2）∵M为BD中点，∴AMBD，CMBD，∴BD平面AMC，∴平面AMC平面BCD，平面AMC平面BCDCM，∴过A作AOCM，则AO平面BCD，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，过O作CD垂线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.学科网（北京）股份有限公司B1,3,0，D1,3,0，C2,0,0，A0,0,221111EMAD1,3,22，MFBC3,3,02222设平面EMF法向量为nx,y,znEM0x3y22z0得nMF03x3y0令x1，则y3，z2，∴n1,3,2242AC2,0,22，∴sincosn,AC6122∴AC与平面EMF所成角为45°n2n12219.【解】（1）方法1：a1a2anan1an1，a1a2anan，an2相除得2n1，即nn1an1n1an1anannn1所以lgan1lgan，即nlgan1n1lgan，lgalgalgalga所以n1n，所以21lg3n1n21lgalgalgalgalga结合n1n，所以n1lg3，即数列n是常数列n1nn1nnn所以lgannlg3lg3，所以an