江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合Ax5x2，Bxx33，则AB（）A.5,0B.6,2C.6,0D.5,22.(2＋3i)(2－3i)＝A.5B.－1C.1D.73.已知向量a1,2,b3,1，则a在ab上的投影向量为（）254585652486A.,B.,C.,D.,555555551,x04.已知函数sgnx0,x0，则“sgnlnxsgnx11”是“x1”的（）1,x0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件65.已知x2xa2x1展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为（）A.10B.11C.13D.156.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即1V2ABPQBCh（其中h是刍薨的高，即顶棱PQ到底面6ABCD的距离），已知AB2BC4,△PAD和△QBC均为等边三角形，若二面角PADB和QBCA的大小均为150，则该刍薨的体积为（）5373A.B.33C.D.4322PF7．已知抛物线y24x的焦点为F，A(1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，PF=PA（）A.1B.2C.22D.4ππππ8.已知函数fxsinx(0)在区间,π内不存在最值，且在区间,上，满足32433fx恒成立，则的取值范围是（）21251211511A.0,,B.0,,1C.0,,D.0,,13363363663二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.1学科网（北京）股份有限公司9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位数是7B.若事件M，N的概率满足PM0,1，PN0,1且M，N相互独立，则PNMPN1C.由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到28.612，依据0.001的独立性检验x0.00110.828，可判断X，Y独立D.若一组样本数据xi,yii1,2,,n的对应样本点都在直线y4x7上，则这组样本数据的相关系数为110.已知圆O：x2y24，过直线l：xy60上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.若点P的坐标为(1,5)，则PA22B.PAO面积的最小值为232247C.直线AB过定点,D.AB,4333x11.已知fxlog2xx,gx2x，若fagb2，则（）A.a2bB.ab23C.ab1D.ab222412.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面AA1D1D内运动（包括边界），Q为棱DC中点，则下列说法正确的有（）A.存在点P满足平面PBD//平面B1D1CB.当P为线段DA1中点时，三棱锥PA1B1D1的外接球体积为2π33C.若DPDA01，则PQPB最小值为122D.若QPDBPA，则点P的轨迹长为π9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.113.已知sincos，0,π，则tan__________.522*14.数列an满足a11，且an3anan12an10n2,nN，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：fx__________.2fx①fxfxx；②函数y在0,上单调递增.x22y16．已知双曲线C：x1的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F2的直线交双曲线C的3右支于A，B两点（其中点A在第一象限内），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则当2学科网（北京）股份有限公司F1AAB时，AF1=____________；ABF1内切圆的半径为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列an前n项和为Sn，且满足__________.*2*2①nN，均有an0且an14Sn，②首项a11，m,nN均有SmnSn2mnm；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列an的通项公式；an（2）求数列an2前n项和Tn的表达式.18.如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD,ABBC,2AB2BCCDPDPC，设E,F,M分列为棱AB,PC,CD的中点．（1）证明：EF//平面PAM；（2）若PAPM，求EF与平面PCD所成角的正弦值．2π19.如图，在ABC中，BAC，点P在边BC上，且APAB,AP2．3（1）若PC13，求PB﹐（2）求ABC面积的最小值．x2y2220．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交a2b2216于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，△ABD面积为．9（1）求C的方程；（2）当M异于O点时，记直线BD与y轴交于点N，求OMN周长的最小值．21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物3学科网（北京）股份有限公司是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个30元。（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？23nxxnx22.定义函数*．fnx1x1nN23n（1）求曲线yfnx在x2处的切线斜率；x（2）若f2x2ke对任意xR恒成立，求k的取值范围；（3）讨论函数fnx的零点个数，并判断fnx是否有最小值．若fnx有最小值m﹐证明：m1ln2；若fnx没有最小值，说明理由．（注：e2.71828…是自然对数的底数）4学科网（北京）股份有限公司江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学2024.1.14注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合Ax5x2，Bxx33，则AB（）A.5,0B.6,2C.6,0D.5,2【答案】B2.(2＋3i)(2－3i)＝A.5B.－1C.1D.7【答案】D3.已知向量a1,2,b3,1，则a在ab上的投影向量为（）25458565A,B.,.55552486C.,D.,5555【答案】D1,x04.已知函数sgnx0,x0，则“sgnlnxsgnx11”是“x1”的（）1,x0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C65.已知x2xa2x1展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为（）A.10B.11C.13D.15【答案】B6.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即1V2ABPQBCh（其中h是刍薨的高，即顶棱PQ到底面ABCD的距离），已知6AB2BC4,△PAD和△QBC均为等边三角形，若二面角PADB和QBCA的大小均为150，则该刍薨的体积为（）5学科网（北京）股份有限公司5373A.B.33C.D.4322【答案】A【分析】根据给定条件，求出线段PQ长及点P到平面ABCD的距离h，再代入公式计算即得.【详解】令点P,Q在平面ABCD的投影分别为P,Q，取AD,BC的中点M,N，连接PM,QN，由PP平面ABCD，AD平面ABCD，得PPAD，由正PAD，得ADPM，PPPMP,PP,PM平面PMP，则AD平面PMP，同理BC平面QNQ，由四边形ABCD为矩形，得AD//BC，于是AD平面QNQ，而MP面PMP，NQ平面QNQ，则ADMP,ADNQ，显然MN//AB，有MNAD，且P,M,N,Q都在平面ABCD，因此点P,M,N,Q共线，显然PP//QQ，而PQ//平面ABCD，平面PQQP平面ABCDPQ，PQ平面PQQP，则PQ//PQ，四边形PQQP为平行四边形，PQPQ,hQQPP，由ADPM，ADMN，得PMN是二面角PADB的平面角，即PMN150，33则PMP30，又PMPAsin603，因此hPMsin30,PMPMcos30，223同理NQ，而MNAB4，则PQMN2PM7，211353所以该刍薨的体积为V2ABPQBCh(247)2.6622故选：APF7．已知抛物线y24x的焦点为F，A(1,0)，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，PF=PA6学科网（北京）股份有限公司（）A.1B.2C.22D.4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为x=1，A(1,0)，过P作PQ垂直于准线于Q，连接PA，由抛物线定义知PQPF.PFPQsinPAQPAPAPF由正弦函数知，要使最小值，即PAQ最小，即PAF最大，即直线PA斜率最大，即直线PAPA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为：yk(x1)，联立抛物线方程：y24x，整理得：k2x2(2k2﹣4)xk2＝0yk(x1)2则2k2﹣4﹣4k4＝0，解得k1.即x22x1＝0，解得x1，代入y24x得y2.P(1,2)或P(1,2)，再利用焦半径公式得PF2故选：B.ππππ8.已知函数fxsinx(0)在区间,π内不存在最值，且在区间,上，满足32433fx恒成