2023~2024学年度高三元月调考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2xBx0A2,1,1,21.已知集合，1x，则AB（）A.1,2B.2,1C.1,1,2D.2,1,12.已知i是关于x的方程2x2pxq0（p，qR）的一个根，则pq（）A.0B.2C.2D.13.已知向量a3,1，b3,2，c1,4，则cosa,bc（）5555A.B.C.D.531052的4.函数f(x)log2xax在区间0,1上递增，则a取值范围是（）[2,)(2,)(0,2)(0,2]A.B.C.D.的na1an5.若数列an前n项和为Sn，则“S”是“数列an是等差数列”的（）n2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为1，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（）22:12435A.B.C.D.3344第1页/共28页学科网（北京）股份有限公司7.已知A，B为双曲线x2y21上不同两点，下列点中可为线段AB的中点的是（）1A.1,1B.(2,3)C.2,1D.1,21CBA8.已知在ABC中，a2b，sinB，则sinsin（）322101022AB.C.D..3333二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）2A.正方体ABCDA1B1C1D1的内切球的半径为2πB.两条异面直线DC和BC1所成的角为13πC.直线BC与平面ABCD所成的角等于1143D.点D到面ACD1的距离为210.已知圆O:x2y21和圆C:(x3)2(y4)2r2(r0)，则（）A.两圆可能无公共点B.若两圆相切，则r4C.直线x=1可能为两圆的公切线37D.当r4时，若ykxm为两圆的公切线，则k或42411711.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且P(A)，P(B)，P(ABAB)，则（）3412第2页/共28页学科网（北京）股份有限公司51A.A，B相互独立B.P(AB)C.PBAD.PABPBA63x12.已知函数fxekx，gxklnxx，k0，则（）A.当ke时，函数fx有两个零点B.存在某个k0,，使得函数fx与gx零点个数不相同C.存在ke，使得fx与gx有相同的零点D.若函数fx有两个零点x1,x2x1x2，gx有两个零点x3，x4x3x4，一定有x1x4x2x3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知如下的两组数据：第一组：10、11、12、15、14、13第二组：12、14、13、15、a、16若两组数据的方差相等，则实数a的值为_________.π14.若函数fxsinxsinx0，在0,π上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的3取值范围是______________．15.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为32的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为_______．x2y2x2y2如图，椭圆C：和：有相同的焦点，，离心率分别为，16.1221a1b10C2221F1F2e1a1b1a2b2e1e2，B为椭圆C1的上顶点，F2PF1P，F1，B，P三点共线且垂足P在椭圆C2上，则的最大值是______.e2第3页/共28页学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2cosBCcosBcosC17.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知．bcabac（1）求A；（2）D为BC边上一点，DABA，且BD3DC，求cosC．18.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB4，ADAE2.将VADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，使平面APE平面ABCE.（1）求证：APBE；（2）求平面PAC与平面PBE夹角的余弦值.x19.已知函数fxeaexaR.（1）讨论函数fx的单调性；（2）若存在实数a，使得关于x的不等式fxa恒成立，求实数的取值范围.**20.若数列xn满足：存在等比数列cn，使得集合xncnnN元素个数不大于kkN，则称数列具有性质如数列，存在等比数列n，使得集合*，则xnP(k).xn1cn(1)xncnnN0,2a1数列具有性质若数列满足，nn*，记数列的前项和xnP(2).ana10an1(1)nNann22为Sn.证明：n（1）数列an(1)为等比数列；（2）数列Sn具有P(2)性质.21.已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，第4页/共28页学科网（北京）股份有限公司并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设n次操作后盒子中所剩黑球的个数为.（1）当n3时，求的分布列；（2）当nk(k3)时，求的分布列和数学期望E().已知抛物线2的焦点为，为抛物线2上一点，且在第一象限内过作抛22.C1:x4yFMC2:x4(y1).M物线C1的两条切线MA，MB，A，B是切点；射线MF交抛物线C2于D.（1）求直线AB的方程（用M点横坐标x0表示）；（2）求四边形MADB面积的最小值.第5页/共28页学科网（北京）股份有限公司2023~2024学年度高三元月调考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2xBx0A2,1,1,21.已知集合，1x，则AB（）A.1,2B.2,1C.1,1,2D.2,1,1【答案】B【解析】【分析】先根据分式不等式求出集合B，再根据集合的交集运算即可求解．2x2x1x0【详解】由0，即，解得-2£x<1，所以Bx2x1，1x1x0又A2,1,1,2，所以AB2,1．故选：B．2.已知i是关于x的方程2x2pxq0（p，qR）的一个根，则pq（）A.0B.2C.2D.1【答案】C【解析】【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出p,q即可【详解】i是关于x的方程2x2pxq0的一个根，把i代入方程，有2piq0，则有p0,q2，所以pq2.故选：C3.已知向量a3,1，b3,2，c1,4，则cosa,bc（）5555A.B.C.D.53105【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.第6页/共28页学科网（北京）股份有限公司【详解】因为a3,1，b3,2，c1,4，所以a10，bc2,2，则abc4，bc22，abc45故cosa,bc．abc10225故选：A．24.函数f(x)log2xax在区间0,1上递增，则a的取值范围是（）A.[2,)B.(2,)C.(0,2)D.(0,2]【答案】A【解析】【分析】根据对数型函数的单调性进行求解即可.a【详解】二次函数yx2ax的对称轴为：x，22因为函数f(x)log2xax在区间0,1上递增，a1所以有2a2，21a0故选：Ana1an5.若数列an的前n项和为Sn，则“S”是“数列an是等差数列”的（）n2充分不必要条件必要不充分条件A.B.C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】na1an(n1)a1an1必要性显然成立；由S，S，得(n1)an1a1(n2)an①，同理n2n12可得(n2)an2a1(n3)an1②，综合①，②，得2an1anan2，充分性得证，即可得到本题答案.【详解】必要性显然成立；下面来证明充分性，第7页/共28页学科网（北京）股份有限公司naa(n1)aa若S1n，所以当n2时，S1n1，n2n12所以2anna1an(n1)a1an1，化简得(n1)an1a1(n2)an①，所以当n3时，(n2)an2a1(n3)an1②，①②得2(n2)an1(n2)anan2，所以2an1anan2，即数列an是等差数列，充分性得证，na1an所以“S”是“数列an是等差数列”的充要条件.n2故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.6.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为1，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（）22:12435A.B.C.D.3344【答案】B【解析】【分析】结合图形，多面体FDABNM中，取AB的中点C，做CQ//BN交MN于Q，做DE底面ABNM于E点，坡面与底面所成二面角的为DHE、DCE，1tanDHEtanDCE，设DE1，得斜脊AD，因为矩形宽AB4，长为8，得DF，可得答2案.【详解】如图，多面体FDABNM中，取AB的中点C，做CQ//BN交MN于Q，做DE底面ABNM于E点，则E点在CQ上，且E点到BN、AM的距离相等，即2EHAB，做DHAM于H点，连接EH，DEEHE，则AM平面DHE，第8页/共28页学科网（北京）股份有限公司所以EHAM，所以坡面与底面所成二面角为DHE，又DEECE，则AB平面DCE，所以DCAB，坡面与底面所成二面角为DCE，1所以正切值tanDHEtanDCE，2不妨设DE1，EHACBCCE2，可得斜脊AD1443，因为矩形宽AB4，4所以长为8，这样正脊DF8224，所以正脊与斜脊长度的比值为4:3即.3故选：B.7.已知A，B为双曲线x2y21上不同两点，下列点中可为线段AB的中点的是（）1A.1,1B.(2,3)C.2,1D.1,2【答案】B【解析】【分析】利用点差法结合选项得出AB方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.【详解】设AB的中点C