长沙市一中2024届高三月考试卷(五)数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合.퐴={2,3,4},퐵=푥|푥²−3푥+푡=0若A∩B={2},则A∪B=A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{-1,2,3,4}D.{2,3,4,5}2.已知复数푧=3−푖+(1+푎푖)²(푎∈푅))在复平面内对应的点在坐标轴上，则|z|的值不可能是15A.3C.4D.5퐵.43.函数푓(푥)=푎ˣ−푎(푎⟩0,且a≠1)的图象可能是4.已知α，β，γ是空间中三个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是A.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若푚⊥훼,푛⊥훽,훼‖훽,则푚‖푛C.若α∥β,β∥γ,则α∥γD.若푚∥훼,푛∥훽,푚‖푛;,则훼‖훽휆5.已知数列中,则是“数列是递增数列”的푎ₙ푎푛=푛+푛,“0<휆<2ⁿ푎ₙA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为(2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449)A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m휋7.函数푓(푥)=푎푠푖푛휔푥+푏푐표푠휔푥(푎⟩0,푏>0,휔>0)的一个对称中心为−0,且f'(x)的一6,휋푏条对称轴为当ω取得最小值时，푥=3,푎=3333퐴.퐵.3퐶.−퐷.−38.已知(푥−1)(2−푥)<푙푛푥<푥(푥−1)对∀푥∈(1,2))恒成立，且x越接近于1，它们的值535也越接近.如，取时，有计算可得：푥=4160)훼−훽훼훽若则该椭圆的离心率∠푀퐹₁퐹₂=훼,∠푀퐹₂퐹₁=훽,cos2=2cos2,푒=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为푝(0<푝<1).(1)若比赛采用五局三胜制，且푝=0.5,则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；1(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且试分析哪种赛制下甲获푝>2,胜的概率更大?并说明理由.18.在△ABC中,AB=3,AC=2,D为BC边上一点,且AD平分∠BAC.퐴퐷(1)若BC=3,求퐶퐷;11(2)若求线段AD的长.cos퐴=14,19.如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;(2)若PA=AC=1,AB=2,求二面角A-OP-G的余弦值.푛−120.设数列푎ₙ满足：对任意正整数n，有푎1+2푎2+4푎3+⋯+2푎푛=푛.(1)求数列푎ₙ的通项公式；(2)若抽去数列푎ₙ中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列푐ₙ,记数列푐ₙ的前n项和为푇ₙ.已知对于任意的正整数n，푇₂ₙ≥휆푇₂ₙ₊₁恒成立，求λ的最大值.121.已知函数푓(푥)=푎ln푥−푥+푥(푎∈푅)(1)是否存在实数a，使得x=1为函数f(x)的极小值点.若存在，求a的值；若不存在，请说明理由；(2)若f(x)图象上总存在关于点(1，0)对称的两点，求a的取值范围.122.已知双曲线C的虚轴长为2，其中一条浙近线方程为且M，N分别是双曲线푦=2푥.的左、右顶点.(1)求双曲线C的方程；(2)设过点G(4，0)的动直线l交双曲线C右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为푘₁,푘₂.푘①试探究k₁与k₂的比值1是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说푘2明理由；휋1휋②设若求的面∠퐴푁퐺=훼,∠퐵푁퐺=훽,0<훽<2,tan휃=7,훼=훽−휃(0<휃<2),△퐵퐺푁积.