许济洛平2023—2024学年高三第二次质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若复数z满足|1-i|·z=1-2i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A=x|lnx+1≤0,B=x|x+11-x≥0,则A∩B=A.[-1,0]B.(-1,0]C.[-1,0)D.(-1,0)3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为A.65B.72C.72.5D.754.已知圆O:x²+y²=1与x轴交于A,B两点,点M是直线x+ty+3=0上任意一点.设p:∠AMB<π2;q:-30的焦点F,且与C相交于A,B两点,O为坐标原点，若△OAB的面积是22,则|AB|=A.4B.8C.12D.167.设a=ln1.01,b=1.01,c=e0.01,其中e为自然对数的底数，则A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是A.0.24B.0.14C.0.077D.0.067二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数fx=sin2ωx+π3的图象的一个对称中心为-π60,其中ω∈(0,1],则A.直线x=π12为函数f(x)的图象的一条对称轴B.函数f(x)的单调递增区间为2kπ-5π62kπ+π12,k∈ZC.当x∈0π2时，函数f(x)的值域为(-321D.将函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f(x)的图象10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列{aₙ}的前n项和为Sn，其通项公式an=n2-12,n为奇数n22,n为偶数.则A.84是数列{an}中的项B.a2+a4+⋯+a14+a16=408C.1a2+1a3+1a3+1a7+⋯+1a2023=10112024D.S50=21450参考公式：12+22+32+⋯+n2=nn+12n+16.11.在12x2-1xn的展开式中，若第4项与第8项的二项式系数相等，则A.展开式中x⁵的系数为-1058B.展开式中所有项的系数的和为11024C.展开式中系数的绝对值最大的项是第5项D.从展开式中任取2项，取到的项都是x的整数次幂的概率为31112.已知fx=2excosx,gx=fxcosx-x1+cosx,则A.当x∈-π2π2时,f(x)min=f-π4=22e-π4,无最大值B.当x∈-π2π2时,f(x)max=fπ4=22e44,无最小值C.当x∈-π4π2时,g(x)的值域是(-∞,2]D.当x∈-π4π2时,g(x)的值域是[2,+∞)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线C:x2a2-y24=1(a>0)的离心率为5,则a=.14.在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,BD⊥DC,点M为线段CD的中点，则MA⋅MB=______¯.15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,P是棱DD₁(不包含端点)上一动点，则三棱锥P-AB₁C的体积的取值范围为16.已知定义在(-3,3)上的函数f(x)满足.fx=e2xf-x,f1=1f'x为f(x)的导函数,当x∈[0,3)时,f'(x)>f(x),则不等式exf(1-x)>1的解集为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(bsinA+cosA=3-1acosB+c.(1)求B;(2)若a=1,b=3,求△ABC的面积.18.(12分)已知正项数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,a₁=1,且满足:.(1)求{aₙ}的通项公式;(2)已知bn=nan,设数列{bₙ}的前n项和为Tn,当n∈N*时,cosnπλsinx.22.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F₁,F₂,过F1-30的直线交椭圆于G,H两点,△GHF₂的周长为8.(1)求椭圆E的方程;(2)点M,N分别为椭圆E的上、下顶点,过直线y=2上任意一点P作直线PM和PN,分别交椭圆于S，T两点.证明：直线ST过定点.2024届高三第二次模拟考试参考答案一、选择题1.A2.B3.D4.A5.C6.B7.D8.C二、选择题9.ACD10.ABD11.BD12.AD三、填空题13.114.15415.161316.(-2,0)U(2,3)四、解答题17.解:(1)在△ABC中,因为bsinA+cosA=3-1acosB+c,由正弦定理可得：sinBsinA+cosA=3-1sinAcosB+sinC,所以sinBsinA+cosA=3-1sinAcosB+sinA+B,所以：sinAsinB+sinBcosA=3-1sinAcosB+sinAcosB+cosAsinB,整理得sinAsinB=3sinAcosB,,又A∈(0,π),所以sinA>0,所以sinB=3cosB,得tanB=3,……………………………………………4分因为B∈(0,π),所以.B=π3.…………………………………………………………5分(2)由(1)知,B=π3,又a=1,b=3,在△ABC中，由余弦定理.b²=a²+c²-2accosB,得3=1+c2-2×1×c×12,所以c²-c-2=0,则c=2,或c=-1(舍),………………………………8分所以△ABC的面积S=12acsinB=12×1×2×32=32.……………………10分18.解:(1)若选①,因为数列{an}中,an+12=anan+2,所以数列{an}为等比数列.设{an}的公比为q,则q>0,由题意得2a₃+2=2a₂+a₄,又a₁=1,可得2q²+2=2q+q³,即q³-2q²+2q-4=0,则有q³+2q-2q²-4=qq²+2-2q²+2=q²+2q-2=0,因为q²+2>0,解得q=2,故aₙ=2ⁿ⁻¹.…………………………………………2分若选②，因为Sn+1-2Sn=1n∈N*,所以Sn+2-2Sn+1=Sn+1-2Sn=1n∈N*,所以Sn+2-Sn+1=2Sn+1-Snn∈N*,即an+2=2an+1n∈N*;当n=1时,有S₂-2S₁=1,即a₂-a₁=1,且a₁=1,则a₂=2a₁.所以数列{an}是首项a₁=1,公比q=2的等比数列，所以aₙ=2ⁿ⁻¹.……………4分若选③，由Sₙ₊₁+1aₙ=Sₙ+1aₙ₊₁,得Sn+1+1an+1=Sn+1an,所以Sn+1an=S1+1a1=a1+1a1=2,所以Sₙ=2aₙ-1.当n≥2时,Sₙ₋₁=2aₙ₋₁-1,所以aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-1-2aₙ₋₁-1=2aₙ-2aₙ₋₁,所以aₙ=2aₙ₋₁,所以，数列{aₙ}是以首项a₁=1,公比q=2的等比数列，所以aₙ=2ⁿ⁻¹.…………6分(2)由(1)可知:数列{bₙ}满足bn=nan=n2n-1,数列{bₙ}的前n项和Tn=1+22+322+⋯+n2n-1①则12Tn=12+222+⋯+n-12n-1+n2n②-②可得:12Tn=1+12+122+⋯+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n,所以Tn=4-n+22n-1,……………………………………………8分不等式cosnπλ-2;…………………………………11分综上,实数λ的取值范围是(-2,3).…………………………………………………………12分19.解:(1)由统计表数据可得:x=1+2+3+4+55=3,y=7+12+13+19+245=15,…………………………………………………………………………………1分所以i=15xi-xyi-y=16+3+0+4+18=41,……………………………2分i=15yi-y2=64+9+4+16+81=174,…………………………………………………3分i=15xi-x2=4+1+0+1+4=10,……………………………………………………4分所以相关系数r=411740≈4141.7≈0.98,…………………………………………………………………5分因此，两个变量具有很强的线性相关性.………………………………………………………6分(2)由题意