数 学参考答案、解析、评分细则iiii(1−)1+1121.解析：根据题意：(1+iz)=⇔=iz===+i，所以z=，故选B.1+i(1+−ii)(1)2222yx=22.解析：根据题意：A∩=B(xy,)={(0,0),(1,1)}，故选Cyx=ππ5π53.解析：根据题意，令tt=−αα⇔=+，可得sint=，则cos(tt+=−=−)sin，1212525故选Axπx4.解析：对于A，y=tan，则T==4π，对于B，函数y=sin的最小正周期为4π；对于C，4124函数yx=sin最小正周期为π，所以2π也是它的一个周期，故C正确；对于D，yx=sin||，可判断该函数为偶函数，根据图象该函数不是周期函数。故选C.5.解析：根据题意：Sann=2-1，Sann−−11=2-1，两式作差可得aann=2−1，当n=1时，a1=1，所以4n−1T1241560数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an=2，=⋅aa56...a12=⋅=(aa89)(2)=2，T4T12所以log2=60，故选D.T416.解析：对于A，若两直线平行，则aaa=⇔2=⇔=±11，所以“直线ax−+=y30与直线ax−=ay0互相平行”是“a=−1”的必要不充分条件，故A错误；对于B，由直线2cosαxy−2+=30，3得yx=cosα⋅+，所以斜率k=cosα∈−[1,1]，设倾斜角为θ，则tanθ∈−[1,1]，又θπ∈[0,)，所以2ππ32θπ∈[0,][,)，故B不正确；对于C，设直线y−=2kx(−1)，则A(1−−,0),Bk(0,2)，所以44k121414=×−−=×+−−=×+−+≥，当且仅当=−Sk∆OAB(2)122k4(k)4k222kk2(−k)时成立，所以，此时直线的方程为yx=−+24，故C正确；对于D，若直线l:kx+y−k+=10，得：33lx:(−1)ky++=10，所以直线恒过定点C(1,−1)，因为k=−，k=，结合图象可知直AC2BC233线的斜率k∈−∞，−∪+∞，故D不正确，故选：C227.解析：aab+=−++−⇔+=−+−2ln22ln(2baab)2ln(2)2ln(2b)，设函数fx()=x+2lnx，分析可得函数fx()单调递增，所以可得a=−⇔+=22bab，数学 第1页（共6页） {#{QQABCYKAogigABBAABgCEQHICEEQkBAACKoGgAAEoAIBQQNABAA=}#}222a++bab222=+≥ab2ab⇔ab≤1,≥⇔a+b≥2，22141141ba419+=+(ab+)=14+++≥×(524×)=，故选D.ab2ab2ab228.解析：根据题意：442222fxxx()=cos(ωϕ+−)sin(ωϕ+=)cos(ωϕxx+−)sin(ωϕ+)cos(ωϕxx++)sin(ωϕ+)cos22(ωϕxx+−)sin(ωϕ+=)cos(2ωx+2ϕ)T52πππππ由图可知=−=⇒=T⇒2ωω==⇒=42，fx()=cos(4x+2ϕ)212642π2ππ7π5π又4×+2ϕπϕπ=−+2,kkz∈⇒=−+kkz,∈，又0<<ϕπ，所以k=1,ϕ=，所621212πt+5π5πππ6以fx()=cos4x+，gx(x)=44cos4x+−−，令tx=4−⇔=x，66664所以x与t一一对应，故只需看4costt=的根的个数即可，根据图象不难看出，两个函数共有11个交点，故选C.9.解析：选项A：若ab//αα,⊂，不能判断直线ab,的位置关系，故A错误；选项B：若αβ//,ab⊂⊂α,β，不能判断直线ab,的位置关系，故B错误；选项C：根据面面垂直的性质定理可得C正确；选项D：若αβ⊥，ab⊂α,⊂β，不能判断直线ab,的位置关系，故D错误；故选：ABD10.解析：如图所示，131DE=DC+=−++=CECACBBECB−CA，故A正确；22221CB=22BE⇔+=CAAB(BA+AE)⇔AB=AE+AC，故B错误；332BC⋅=BDBD⇔(BC−BD)⋅=⇔⋅=BD00DCBD，所以BD⊥AC，又因为点D为AC的中点，所以AB=BC，故C正确；131223若AB⊥DE，设CA=a,CB=b，则AB⋅DE==02(b−a)−a+b=−⋅+aba+b，2222设a=m,,b=∠=nACBθ(m、n>∈0,θπ(0,))，m3nmn33则4mncosθθ=+⇒m223ncos=+≥2⋅=，4n4m44nm2当且仅当mn=3时取得等号，π所以∠ACB的最大值为，故D正确.6故选ACDπππ11.解析：因为fx+−=−bbf−x，所以函数fx()关于,b中心对称，因为333数学 第2页（共6页） {#{QQABCYKAogigABBAABgCEQHICEEQkBAACKoGgAAEoAIBQQNABAA=}#}5π5πfx()=f−x，所以函数fx()关于x=轴对称，所以函数fx()为周期函数，其周期为365ππ5πT=×−=42π，故fx()=f()π−x=f−−x，所以A正确；由于函数fx()关于6333ππ2π,b中心对称，所以gx()关于x=对称，所以gx()=g−x，选项B正确；由于没有333π明确的解析式，所以C错误；因为函数fx()关于,b中心对称，所以函数3ππhx()=fx+−b为奇函数，函数hx()的最大值与最小值之和为0，所以fx+的最大值33与最小值之和为2b，所以函数fx()的最大值与最小值之和为2b，22bb=⇒=1，选项D正确；故选ABD112.解析：对于选项A，当P(−1,0)，AB为直径时，S=PMy−y（其中y为点A的纵坐标），∆PAB2ABA1所以当点A为（2,1）时，三角形PAB的面积最大，(S)=PM×=23r，所以A正确；对于∆PABmax2选项B，设∠=APMθ，则∠=∠=BAMAPMθ，所以AB=2cosθ，θ越大，AB越小，当点P在1224242（-1,0）处时，θ最大，此时sinθθ=，cos=,AB=，即AB=，选项B正确；对于333min312选项C，当点P在（-1,0）处时，且PA，PB为切线时，∠APB最大，此时sin∠=2xe−xx−m⇔e1−lnx>−m，（6分）令hx()=ex1−lnx，−11hx′()=ex1−，函数hx′()单调递增，he′(1)=0−=0，（8分）所以，当x∈(0,1)时，hx′()<0，x1函数hx()单调递减，当x∈(1,+∞)时，hx′()>0，函数hx()单调递增，（10分）所以当x=1时，函数hx()取得最小值为h(1)=1，所以可得11>−mm⇔>−（12分）19.解析：（1）向量m=(,bc−2)a与向量n=(cosCB,cos)垂直，则bcosC+−(ca2).cosB=0（1分）由正弦定理得sinBCcos+−sinCBcos2sinABcos=0,（2分）则sin(BC+−)2sinABcos=∴0,sinA=2sinABcos1πsinA>∴0,cosBB=,∈(0,π),∴=B（4分）23bBsin∴=b2a22+−cac,a=∴=3,cb27c2,∴=7=;（6分）cCsin（2）根据题意，因为BD为角B的内角平分线，所以13111111SSS=+⇔×ac=××33c+××a⇔ac=+⇔ac+=1，（8分）根据余∆∆∆ABCABDCBD222222ac222222ac+12弦定理可得b=+−=+−≥+−×acacac()33acac()=(ac+)，（9分）2411ca又(ac+)+=++≥24，（11分）所以，acac所以b的最小值为2.（12分）20.解析：（1）如图所示，BC=∠CD,ABC=∠=°=ADC90,ACAC，所以PRt∆ABC≅∆RtADC，所以AB=AD，设AC∩=BDQ，连接PQ，则∆QBC≅∆QDC，点Q为BD的中点，又PB=PD，所以PQ⊥BD，又∠=∠DQCBQC，且∠DQC+∠BQC=180°，所以AC⊥BD，又DAC∩=PQQ，所以BD⊥平面PAC；（4分）AQOCH（2）由（1）可知，平面ABCD⊥平面PAC，取AC的中点为O，连接BPO，则PO⊥AC，PO⊥平面ABCD，（6分）过点O作OH⊥BC，垂足为H，连接PH，则PH⊥BC，∠PHO为二面角P−−BCA的平面角，（8分）因为四棱锥P−ABCD的体积为数学 第4页（共6页） {#{QQABCYKAogigAB