江西省宜丰县2023-2024（上）创新部高三12月考试数学试卷一、单选题（40分）M2,1,0,1,2Nx|yln(x23x)1.已知，则MN（）A2,1,0B.2,1C.0,1,2D.1,2,3.32.已知向量a4,3,bm,1，且夹角的余弦值为-，则m（）52424A.0B.1C.0或D.7733.若cos()，则sin2457117A.B.C.D.255525n*4.数列an满足an12sin1ann，nN，则数列an的前80项和为（）2A.1640B.1680C.2100D.21205.正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为（）326632232A.B.C.D.1212124x6.已知函数fx，过点a,b作曲线fx的切线，下列说法正确的是（）ex4aA.当0a2时，可作两条切线，则b的值为e2B.当a2，b0时，可作两条切线4C.当a0，b时，有且仅有一条切线e24D.当a0时，可作三条切线，则0be27.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4、BC3，M、N分别为棱AB、BB1的中点，点P在对角线A1C1上，且A1P3，过点M、N、P作一个截面，该截面的形状为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形第1页/共5页学科网（北京）股份有限公司8.已知函数fxsinx2axaxcosx，x0，fx0，则实数a的取值范围是（）1111A.,B.0,C.,D.0,4433二、多选题（20分）9.在ABC中，下列命题中正确的有（）A.若ab，则sinAsinBB.若sinAsinB，则AB11C.若AB，则D.若AB则cos2Acos2Bsin2Asin2B10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（）A.直线BC1与直线A1E为异面直线B.BC1//平面A1EC5C.二面角A1ECA的正弦值为57πD.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为311.设定义在R上的函数fx的导函数为fx，若fx1与fx2均为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.fx的图象关于x=1对称B.2为fx的一个周期C.fx的图象关于2,0对称D.fx为偶函数x2y212.已知椭圆C：1b0的左右焦点分别为F1、F2，点P2,1在椭圆内部，点Q在椭圆4b2上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（）2A.离心率e的取值范围为0,226B.当e时，QF1QP的最大值为442C.存在点Q，使得QF1QF2011D.的最小值为1QF1QF2三、填空题（20分）第2页/共5页学科网（北京）股份有限公司13.在(3y)(xy)4的展开式中x2y3的系数为___________.14.3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有______种不同的分乘方法.lnx,0x215.设fx若方程f(x)m有四个不相等的实根xii1,2,3,4，且f4x,2x4222x1x2x3x4，则x1x2x3x4的取值范围为___________.x216.已知点F是椭圆y21(a1)的右焦点，点P0,3到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过25，a2当椭圆的离心率取到最大值时，则PQQF的最大值等于__________．四、解答题（70分）17.已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.（1）若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；93（2）若∠ABC=120°，△ABC的面积为，求四边形ABCD周长的最大值.218.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A2类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为．3（1）若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；（2）若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．2219.已知单调递减的正项数列an，n2时满足anan11an1an12anan1anan1an10．1a，S为a前n项和．12nn（1）求an的通项公式；1（2）证明：Sn1.n120.已知三棱柱ABC-A1B1C1，ABAC2，AA13,A1ABA1ACBAC60，M,N为线AMBN段AC1,BA1上的点，且满足t(0t1)．AC1BA1第3页/共5页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：MN//平面ABC；（2）求证：BB1BC；3（3）设平面MNA∩平面ABCl，已知二面角MlC的正弦值为，求t的值．3f(x)(x1)ln(x1)x21.已知函数.（1）当x0时，fx0，求的最大值；11111（2）设nN*，证明：1ln2.2342n12nx2y222.已知双曲线C:1(a0,b0)经过点P4,6，且离心率为2.a2b2（1）求C的方程；（2）过点P作y轴的垂线，交直线l:x1于点M，交y轴于点N.设点A,B为双曲线C上的两个动点，SMAB直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，若k1k22，求.SNAB第4页/共5页学科网（北京）股份有限公司江西省宜丰县2023-2024（上）创新部高三12月考试数学试卷一、单选题（40分）M2,1,0,1,2Nx|yln(x23x)1.已知，则MN（）A.2,1,0B.2,1C.0,1,2D.1,2,3【答案】B【解析】【分析】先化简集合N，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：由x23x0，得x3或x0，则Nx|x0或x3，又M2,1,0,1,2，所以MN2,1，故选：B32.已知向量a4,3,bm,1，且夹角的余弦值为-，则m（）52424A.0B.1C.0或D.77【答案】A【解析】【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解即可.【详解】由已知a(4)2(3)25,bm21,ab4m3，所以rrrrab4m333cosa,brr22，即4m33m10，故m，且ab5m1542416m224m99m29，解得m0或（舍去）所以m07，故选：A33.若cos()，则sin2457117A.B.C.D.255525【答案】D【解析】2237【详解】试题分析：cos22cos121，44525第1页/共27页学科网（北京）股份有限公司且cos2cos2sin2，故选D.42【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．n*4.数列an满足an12sin1ann，nN，则数列an的前80项和为（）2A.1640B.1680C.2100D.2120【答案】A【解析】【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.2nn4【详解】设f(n)2sin1，因为sin的周期为，222n所以f(n)2sin1的周期为T2.2又f(1)1，f(2)1，所以当n为奇数时，f(n)1，所以当n为偶数时，f(n)1.又an1f(n)ann，所以a2a11，a3a22a11，a4a33a14，于是得到a1a2a3a46，同理可求出a5a6a7a814，a9a10a11a1222…，设bna4n3a4n2a4n1a4n，则数列bn是以6为首项，8为公差的等差数列，所以数列an的前80项和为数列bn的前20项和201982061640.故B，C，D错误.2故选：A.5.正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为（）第2页/共27页学科网（北京）股份有限公司326632232A.B.C.D.1212124【答案】A【解析】21【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取AD的中点为E，PAPDPE，可得当PE4的长度最小时，PAPD取得最小值，求出球心O到点E的距离d，可得点P到AD的距离为dr.【详解】因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体，11362所以其体积为11.322312设正四面体ABCD内切球的半径为r，11326则411r，得r.3221212如图，取AD的中点为E，则PAPD(PEEA)(PEED)221PEPE(EAED)EAEDPE.4显然，当PE的长度最小时，PAPD取得最小值.6设正四面体内切球的球心为O，可求得OAOD.42222612因为球心O到点E的距离dPAAE，42426326所以球O上的点P到点E的最小距离为dr，41212326即当PAPD取得最小值时，点P到AD的距离为.12故选：A.第3页/共27页学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P到AD的距离为球心O到点E的距离减去半径.x6.已知函数fx，过点a,b作曲线fx的切线，下列说法正确的是（）ex4aA.当0a2时，可作两条切线，则b的值为e2B.当a2，b0时，可作两条切线4C当a0，b时，有且仅有一条切线.e24D.当a0时，可作三条切线，则0be2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合函数单调性的判断方法，对参数值进行分类讨论，即可判断和选择.x01x【详解】设过点a,b的切线与曲线的切点为x0,x，又f(x)，故过点a,b的切线方程为：e0ex2x01x0x01x0x0ax0ayxxxx0，则bxxax0，整理得：b；e0e0e0e0ex02xaxax2xa令hx，则h(x)，且当x时，hx→0，当x时，exexhx；对A：当0a2时，显然hx在,a单调递减，在a,2单调递增，在2,单调递减，又a4aha0,h2，eae24aa若过点a,b可作两条切线，则b或，故A错误；e2ea第4页