2024届“一诊”数学参考答案一、选择题（60分）理科：1-5.DABBD6-10.CDADC11-12.AA文科：1-5.DABBB6-10.CDADA11-12.AA二、填空题（20分）3理科：13.5014.1115.2,16.10文科：13.14.1115.216.22三、解答题（70分）117.（1）由a1,Sa（nN）得S=a=11n3n1113S=aSSnn1n1n..............................................................................2分S所以n1Sn1=4Sn=4Sn数列是以为首项，为公比的等比数列{Sn}14S4n1n.......................................................................................5分1(n1)an34n2(n2,nN).......................................................................7分（），分2bnanlog4Snan(n1).........................................................911T=Sn(n1)4n1n(n1).nn22................................................................12分18.（1）解：设物理、历史两门学科分别为m,n，政治、地理、化学、生物分别为a,b,c,d，某同学根据方案进行随机选科，所得的结果为：m,a,b,m,a,c,m,a,d,m,b,cm,b,d,m,c,d,n,a,b,n,a,c,n,a,d,n,b,c,n,b,d,n,c,d，共有12种情形，1所以一个学生恰好选到“史地政”的概率为P.（文科）................................6分1211一个学生恰好选到“物化生”的概率为P，由6个学生选科情况符合二项分布B(6,)，121211故期望为6(理科）.................................................................................6分122（2）a=40，d=20....................................................................................................8分100(40201030)2可得K24.7623.841..................................................11分50507030所以有95%的把握认为“选科与性别有关..........................................................12分2024届一诊数学参考答案第1页共4页BD19.（1）根据题意在RtABD,AD3在BCD中由余弦定理和正弦定理得BCsin2sin.................................3分BD21312cos,sinBDCBDBD在ACD中由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcos(BCD)..........................6分2122sinAC2BD29BD3.33BD40所以对角线AC43sin4cos；.........................................................8分34040（2）由（1）知AC43sin4cosAC8sin()............10分3362183所以存在,cos,BD19，对角线AC最长值为,...............12分32320.(1)平行................................................................................................................2分取PB中点G连接EG和FG,根据题意1EG//BC//DF2所以四边形DEGF是平行四边形．DE∥FG，而DE平面PBF,FG平面PBFDE∥平面PFB.......................................................................................................5分11(2)（文科）根据题意可得VVV.........................................7分EPBF2CPBF2PBCF111由PFB，PB4,PF3,BF3,计算得S33sinPFB，PBF221122设E平面PFB的距离为d,SdSPD.............................10分3PBF6PBF342422所以点E平面PFB的距离为d..................................................12分1111（理科）如图不妨设AB=2，由题意知ADPD22以点D为原点建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，，D0,0,0,P0,0,22,F1,0,0.E0,1,2设平面PFB的法向量为nx,y,z，平面EBD的法向量为ma,b,cPF1,0,22,PB2,2,22,DE0,1,2,DB2,2,0.............7分2024届一诊数学参考答案第2页共4页nPBx22z0则，可取z1,n(22,2,1)..................9分nPF2x2y22z0mDBb2c0，可取z1,m(2,2,1)....................................10分mDE2a2b0mn77则cosm,n=mn115556330所以平面C1MA与平面ABB1A1所成角的正弦值为=...................................12分555521.（1）m21xex1理由如下：fxex，令hxxex1，xxhxx1exx0,hx0.hx在0,为增函数，1e1又h10.h1e10，x0,1使hx00222x0在为负，在为正即x0e10，hx0,x0x0,.fx在0，x0为减函数，在x0,为增函数.x01x0，又x0，e，fxminfx0elnx0x0e10lnx0x0.x011fxminmx0x0,1m2...................................................5分x02xm11xe（2）gxexm令x1xexm，xx1exm0xxx在0，为减函数，又m211e1m0,m1m0，x1mx1m1x11,m，使x11x1e0，ex1mlnx1x1.所以g(x)在（0，）单调递增，在（，）单调递减...............................................8分11111∞1由（1）知mx0lnx0lnx1lnx1x0x0x0x02024届一诊数学参考答案第3页共4页1又因为函数yxlnx，x（0，）是增函数，所以x1......................................10分x0xm111（文科）g（x）maxgx1lnx1elnx1(ln)lnx0x00x1x1x1x1m11（理科）g（x）maxgx12lnx1e2(ln)2lnx0x02............12分x1x1x222.解：（1）C:y21.l:xy10......................................................................5分42x2y128（2）由题意得A3,1.45x8x0x10,x25xy108382P0,1.Q,.PQ5553113d22∴182343分SADQ................................................................................1025254423.（1）①当x1时，x1x2x5xx1.33②当1x2时，x1x2x5x21x2③当x2时，x1x2x5x62x64综上不等式解集为,6....................................................................................5分3a13a11111（2）13134，x1x24.aaaaa33①当x1时，x1x24，x，x.22②当1x2时，x1x24，34无解.55③当x2时，x1x24，x，x.2235所以x,,..........................................10分222024届一诊数学参考答案第4页共4页