江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D 【解析】法一:因为z(1+i)=1-3i,所以z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i,所以|z-|=|z|=5,故选D.法二:两边取模|z(1+i)|=|1-3i|,得|z|·|1+i|=|1-3i|,所以|z-|=|z|=5,故选D.2.C 【解析】解不等式1x-1<-1,即xx-1<0,所以00,得t>4,此时向量a与c的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的充要条件,故选C.4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin(7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).故选C.5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=1,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P(A)=1336,故选C.6.B 【解析】设切点为(x0,lnx0),y'=1x,则a=1x0,ax0+b=lnx0,得b=lnx0-1,∴2a+b=2x0+lnx0-1.设f(x)=2x+lnx-1(x>0),f'(x)=-2x2+1x=x-2x2,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)min=f(2)=ln2,∴2a+b的最小值为ln2.7.C 【解析】因为抛物线C过点P(1,-2),所以抛物线C的方程为y2=4x,线段AB长度的最小值为通径2p=4,所以A错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,kOA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=kOA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D 【解析】当n=1时,a1=12,由Sn+1+an+1=1,得2an+1-an=0,∴an=12n,显然{an}递减,要使得an最小,即要使得n最大,令12n≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,bm=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,bm=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,bm=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,bm=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD 【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD 【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=bax,解得S(a22b+a,ab2b+a),联立直线l与渐近线y=-bax,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,所以yS-yR=2(yB-yS),即3yS=yR+2yB,3ab2b+a=ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.11.BCD 【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C,AC1=AB+AD+AA1,AM=AB+12AD,故2AM-AC1=AB-AA1=A1B,故C正确;对于D,设PC=λD1C,PA·PC=(PC+CB+BA)·PC=(λD1C-AD-AB)·λD1C=(λA1B-AD-AB)·λA1B=(λAB-λAA1-AD-AB)·(λAB-λAA1)=λ(λ-1)|AB|2-λ2AA1·AB-λAD·AB-λ(λ-1)AB·AA1+λ2|AA1|2+λAD·AA1=λ(λ-1)|AB|2-(2λ2-λ)AA1·AB-λAD·AB+λ2|AA1|2+λAD·AA1=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos60°-λ×2cos60°+4λ2+λ·2cos60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA·PC的最小值为-14,故D正确.故选BCD.12.BD 【解析】对于A,因为a=1,所以方程f(x)=0即ex+1-x=0,又ex≥x+1>x-1,所以ex+1-x>0恒成立,所以方程f(x)=0不存在实数根,所以A错误.对于B,因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=aex-1,当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f'(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,所以B正确.对于C,由上知,当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-lna)上单调递减;当x>-lna时,f'(x)>0,则f(x)在(-lna,+∞)上单调递增.当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.所以函数f(x)有最小值,即最小值在x=-lna处取得,所以C错误.对于D,由上知f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna,要证f(x)>2lna+32,即证1+a2+lna>2lna+32,即证a2-12-lna>0恒成立,令g(a)=a2-12-lna(a>0),则g'(a)=2a-1a=2a2-1a.令g'(a)<0,则00,则a>22.所以g(a)在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(22)=(22)2-12-ln22=ln2>0,则g(a)>0恒成立,所以当a>0时,f(x)>2lna+32恒成立,D正确.综上,故选BD.13.(-∞,1] 【解析】因为x∈[0,2],所以由ax2-2x+a≤0,得a≤2xx2+1,因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a小于或等于2xx2+1的最大值,当x=0时,2xx2+1=0,当x≠0时,2xx2+1=2x+1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xx2+1的最大值为1,故a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273 【解析】设公比为q,a1+a3+a5=a3q2+a3+a3q2=919,解得q2=9或19,因为{an}递增,所以q=3,则a4+a6+a8=(a1+a3+a5)q3=919×33=273.故答案为273.15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处,设球O与母线AB切于M点,∴OM⊥AB,∴OM=OO1=OO2=R(R为球O的半径),∴△AOO1与△AOM全等,∴AM=r1,同理BM=r2,∴AB=r1+r2,∴O1O22=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2=12,∴O1O2=23,∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR2=12π.故答案为12π.16.e2 【解析】f(x)≥0⇔ax+ex≥aln(ax+b)+(ax+b),设g(x)=alnx+x,易知g(x)在(0,+∞)上递增,且g(ex)=alnex+ex=ax+ex,故f(x)≥0⇔g(ex)≥g(ax+b)⇔ex≥ax+b.法一:设y=ex在点P(x0,ex0)处的切线斜率为a,ex0=a,即x0=lna,切线l:y=ax+a(1-lna),由ex≥ax+b恒成立,可得b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),设h(a)=a2(1-lna),a>0,h'(a)=2a(12-lna),当a∈(0,e12)时,h'(a)>0,当a∈(e12,+∞)时,h'(a)<0,∴h(a)max=h(e12)=e2,∴ab的最大值为e2.故答案为e2.法二:设h(x)=ex-ax-b,h'(x)=ex-a,当x∈(-∞,lna)时,h'(x)<0,当x∈(lna,+∞)时,h'(x)>0,∴h(x)min=h(lna)=a(1-lna)-b≥0,即有b≤a(1-lna),∴ab≤a2(1-lna),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cosAsinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB,所以(1-cosA)·cosB=sinA·sinB, 2分所以cosB=cosAcosB+sinAsinB,即cos(A-B)=cosB,而-π2π2,所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B或B=π2(与锐角△ABC不合,舍去).综上知,A=2B.所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得a=2bcosB,即cosB=a2b.(2)由上知A=2B,则C=π-A-B=π-3B,在锐角△ABC中,π6