开封市2024届高三年级第一次模拟考试数学参考答案注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DACBBABD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案BCADACDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。276813．14．15．16．5963四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）b+ca（1）因为=2，………2分所以a=2sin=3.………4分sinB+sinCsinA3113（2）因为S=bcsinA=bcsin=，所以bc=2，………6分ABC22322由余弦定理a2=b2+c22bccosA=b+c2bc1+cosA，………8分2所以3=b+c41+cos，b+c=3，………9分3所以ABC的周长为33.………10分18.（12分）aaa（1）设等差数列n的公差为d，由a3a=6，得31=2=2d，d1，………2分n3131a由a=6得2=3，………4分22aa所以n2n2，所以ann1.………6分n2n1111（2），………8分annn1nn111111111Sn1………10分a1a2an223nn11n1.………12分n1n11{#{QQABCQQQgggoABIAABhCAQUICkKQkAECAKoGRFAIoAIAARNABAA=}#}19.（12分）（1）如图，分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，………1分AB,AD,AA1Axyz则，，,，1A0,0,0B11,0,1C1,10E0,1,，21，AB11,0,1AC1,1,0，AE0,1,，………2分2设平面AB1C的一个法向量为nx,y,z，ABn=0，x+z=0，则1即，ACn=0，x+y=0取x1，则平面AB1C的一个法向量为n=1,1,1，………3分3所以点到平面的距离为nAE3.………4分EAB1Ch2=n32又，所以正三角形的面积为3，………5分AB1=AC=B1C=2AB1C2所以四面体的体积为11331.………6分AB1CEV=Sh==3AB1C3224x+z=0，ABm=0，1即（2）设平面AB1E的一个法向量为mx,y,z，则1………7分AEm=0，yz=0，2取y1，则平面AB1E的一个法向量为m=2,1,2.…………9分nm33所以cosn,m=,…………11分nm3333所以平面AB1E与平面AB1C夹角的余弦值为．………12分320.（12分）2222，，，x1y1x2y2（1）由已知k0，设Ax1y1Bx2y2，则1①，1②，…………1分a2b2a2b222222xxyyy1y2y1+y2b①-②得：1212，即，…………2分2202abx1x2x1+x2a2y1y2y1+y2b1又k=，k，所以，…………3分ABOE2x1x2x1+x2a2c2a2b2b21c2又1=，所以椭圆C的离心率.…………5分a2a2a22a2（2）直线l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA||NB|，E为线段AB的中点，所以E也为线段MN的中点，121kkl：ykx+2与x轴、y轴的交点为M,0，N0,2，所以E,0，OE1，kkk1所以2，所以2，2，…………7分kABkOEk=k=l：yx+22222{#{QQABCQQQgggoABIAABhCAQUICkKQkAECAKoGRFAIoAIAARNABAA=}#}x2y2联立直线2与椭圆，l：yx+2C:22122bb可得：22，，2，…………8分x22x+4b0x1x2=22x1x2=4b222622，…………10分|AB|1kx1x2=1kx1x24x1x2=844b6b262x2y2所以b23,a26，所以椭圆C的方程为1.…………12分6321.（12分）11（1）①若a0，因为f=aln20，所以不满足题意；………1分22aax②若a0，由f'x1知：………2分xx当x0,a时，f'x0；当xa，+时，f'x0，所以fx在0,a单调递增，在a，+单调递减，………3分故xa是fx在0，+的最大值点，………4分所以faf10，又因为fa0，所以fa=0，故a1.………5分（2）由（1）知，fxlnxx+1，且xlnx+1，x当x0，时，要证明esinxxfx，只要证exsinxlnx1，………6分2下面证明exsinxx：xxx令gxesinxx，g'(x)esinx+cosx1=2esinx+1，………7分432x0x0，,x+，，所以sinx+，ee1，2444422所以g'(x)2110，………8分2所以gx在0，上单调递增，又g00，所以gx0，即exsinxx，………10分2又因为xlnx+1，所以exsinxxlnx1，即exsinxlnx1，所以exsinxxfx得证.………12分22.（12分）（1）由题意可设三人合计得分为离散型随机变量X，X的可能取值为3，4，5，6，…………1分3228，11212，P(X3)P(X4)C33273327232126，11，P(X5)C3P(X6)3327327所以，X的分布列是：X345681261………3分P272727273{#{QQABCQQQgggoABIAABhCAQUICkKQkAECAKoGRFAIoAIAARNABAA=}#}81261EX34564.…………4分27272727（2）（i）设甲第二天选择“单车自由行”的概率P2，41111由题意知：P21；…………6分54533（ii）甲第nn1,2,,16天选择“单车自由行”的概率为Pn，1252①PP1PPn2,3,,16，…………7分nn14n1312n13858∴PnPn1，1712178P828n5又∵P0，∴17n2,3,,16，181785P12n1178285∴数列Pn是以为首项，以为公比的等比数列，…………8分178512n1∴8285；…………9分Pnn1,2,3,,161785121②由题意知，只需P1P即Pn1,2,,16，…………10分nnn2n1n1828515855，即n1,2,,16，178512212342856显然n必为奇数，偶数不成立，n155故当n1，3，5，…，15时，有即可，1256055当n1时，，显然成立；125625255当n3时，，成立；1214456456255当n5时，，不成立，1214414456n15又因为单调递减，所以n5时不成立．…………11分12综上，选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数为2天.…………12分4{#{QQABCQQQgggoABIAABhCAQUICkKQkAECAKoGRFAIoAIAARNABAA=}#}