沈阳市第120中学2023－2024学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分：150分时间：120分钟命题人：马健于茂源校对人：高越一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）Axx28x150Bxax101.设集合，集合，若BA，则实数a取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.82.已知复数z满足(12i)z32i，则z的虚部为（）8811AB.C.D..5555n23.若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）x2xA.90B.-90C.180D.-1804.向量ab1，c3且abc0，则cosac,bc（）131344A.B.C.D.1414555.在《九章算术商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B12，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为33，则该方亭的体积为（）7777A.B.C.2D.2262656.在数列an中，a11，且函数fxxan1sinx2an3x3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）．A.1021B.1022C.1023D.10247.已知点P是圆M:(x2)2(y2)22上的动点，线段AB是圆C:(x1)2(y1)24的一条动弦，且|AB|23，则|PAPB|的最大值是（）A.32B.82C.52D.822第1页/共4页学科网（北京）股份有限公司8.已知三棱锥PABC的底面ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（）A.6πB.30πC.9221πD.6221π二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）9.下列命题正确的是（）A.在回归分析中，相关指数r越小，说明回归效果越好B.已知P(23.841)0.05，若根据2×2列联表得到2的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关C.已知由一组样本数据xi,yi（i1，2，，n）得到的回归直线方程为y4x20，且1nxi10，则这组样本数据中一定有10,60ni1D.若随机变量XN~,4，则不论取何值，PX46为定值10.若函数fxsinxcosx的图象关于直线x对称，则（）26A.32B.点,0是曲线yfx的一个对称中心3C.直线x也是一条对称轴3D.函数fx在区间,上单调312211.已知Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snn，则下列选项中正确的是（）.A.anan12n1（n2）B.an2an2C.若a10，则S1004950第2页/共4页学科网（北京）股份有限公司11D.若数列an单调递增，则a1的取值范围是,4312.若正实数a，b满足ab，且lnalnb0，则下列不等式一定成立的是（）11A.logb0B.ababaC.2ab12abD.ab1ba1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线l1：xay90与l2：a2x3y3a0平行，则l1，l2间的距离是______．sin21tan14.已知锐角，满足，则cos__________.cos211tan15.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）116.在锐角ABC中，cosA，若点P为ABC的外心，且APxAByAC，则xy的最大值为4___________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB2bcosAbc．（1）求tanA；（2）若a17，ABC的面积为22，求ABC的周长．18.已知点AB4,4,0,3，圆C的半径为1.（1）若圆C的圆心坐标为C3,2，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；（2）若圆C的圆心C在直线l:yx1上，且圆C上存在点M，使MB2MO，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围.an319.已知数列an中，a11，Sn是数列an的前n项和，且.Snn2（1）求数列an的通项公式：12n（2）证明：3SSS12n.第3页/共4页学科网（北京）股份有限公司20.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱AB11上的点．BFA1B1（1）证明：BFDE；（2）当BD1为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?21.在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确1答案和随机猜测的概率都是.问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项2选择题正确答案的概率；（2）小明同学在做某道多项选择题时，发现该题的四个选项他均无把握判断正误，于是他考虑了以下两种方案：方案①单选：在四个选项中，等可能地随机选择一个；方案②多选：在有可能是正确答案的所有选项组合（如AB、BCD等）中，等可能地随机选择一种.若该多项选择题有三个选项是正确的，请从数学期望的角度分析，小明应选择何种方案，并说明理由.x122.设函数fxax2，其中aR.ex（1）讨论fx的单调性；（2）若fx存在两个极值点，设极大值点为x0,x1为fx的零点，求证：x0x1ln2.第4页/共4页学科网（北京）股份有限公司沈阳市第120中学2023－2024学年度上学期高三年级第四次质量监测数学试题满分：150分时间：120分钟命题人：马健于茂源校对人：高越一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）Axx28x150Bxax101.设集合，集合，若BA，则实数a取值集合的真子集的个数为（）A.2B.3C.7D.8【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，然后分a0和a0两种情况由BA可求出a的值，从而可求出实数a取值集合，进而可求出其真子集的个数.【详解】由x28x150，得(x3)(x5)0，解得x3或x5，所以A3,5，当a0时，B，满足BA，11111当a0时，B，因为BA，所以3或5，得a或a，aaa3511综上，实数a取值的集合为0,,，35所以实数a取值集合的真子集的个数为2317，故选：C2.已知复数z满足(12i)z32i，则z的虚部为（）8811A.B.C.D.5555【答案】A【解析】1818【分析】根据复数的运算法则，求得zi，得到zi，结合复数的定义，即可求解.5555第1页/共25页学科网（北京）股份有限公司32i32i12i18【详解】由复数(12i)z32i，可得zi，12i12i12i55188所以zi，所以复数z的虚部为.555故选：A.n23.若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）x2xA.90B.-90C.180D.-180【答案】C【解析】【分析】由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.n2【详解】解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即x2x210，x2xr105r10r2r则通项为TCrx2Crx2，r110210x105r2令0r2，则TC22180.2310故选：C.4.向量ab1，c3且abc0，则cosac,bc（）131344A.B.C.D.141455【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.2221【详解】由已知可得cabcab2abab，2又ac2ab,bc2ba，222aba2b2a5ab2b13所以cosac,bc.22224a4abb4b4aba7714故选：A第2页/共25页学科网（北京）股份有限公司5.在《九章算术商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B12，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为33，则该方亭的体积为（）7777A.B.C.2D.22626【答案】D【解析】【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到AA1的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可．【详解】如图，过A1作A1EAB，垂足为E，33由四个侧面的面积之和为33知，侧面ABB1A1的面积为，41333()ABABAE（梯形的面积公式），则AE．211141211123由题意得：AE()ABAB，在△中，222．11RtAA1EAA1AEA1E()12222连接AC，AC11，过A1作A1FAC，垂足为F，12易知四边形ACC1A1为等腰梯形且AC22，AC2，则AFACA1C1，11222AFAA2AF2，112127该方亭的体积V(12221222)2，（棱台的体积公式）．326故选：D．56.在数列an中，a11，且函数fxxan1sinx2an3x3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）．A.1021B.1022C.1023D.1024第3页/共25页学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断f()x为偶函数，根据有唯一零点知f(0)0，构造法有an132(an3)，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.4【详解】由f(x)5xan1cosx2an3在R上有唯一零点，44而fx()5(xa)n1cos(xa)2n35xaxan1cos2n3fx()，所以f()x为偶函数，则f(0)an12an30，故an132(an3)，且a134，n1n1所以{an3}是首项为4，公比为2的等比数列，则an3422，10则a9231021.故选：A【点睛】关键点点睛：判断导函数f()x为偶函数，进而得到f(0)0为关键.7.已知点P是圆M:(x2)2(y2)22上的动点，线段AB是圆C:(x1)2(y1)24的一条动弦，且|AB|23，则|PAPB|的最大值是