达州市普通高中2024届第一次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A{x|x22x≤0}，B{xN|x≤1}，则ABA．{1}B．{0，1}C．，1D．0，1i2．复数z满足1i，则在复平面内表示复数z的点位于zA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．将某年级600名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加社会实践活动，每个人只能到一个社区．经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则分到戊社区参加活动的学生人数为人数200180戊甲150丁乙1009025%20%丙50甲乙丙丁戊社区A．30B．45C．60D．754．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是A．m∥，mn，则nB．m，mn，则n∥C．∥，m，则m∥D．m，，则m∥45．已知直线l：ykx和圆C：(x2)2(y1)21，则k(0，]是直线l和圆C有公3共点的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件一诊数学（理）试卷第1页（共4页）{#{QQABKQaQogAAQAIAABgCEQGYCgAQkAECCIoGQAAMoAIAgBNABAA=}#}π6．已知向量a(sin,cos)，b(22,2)，a，b夹角为，则ab为6A．19B．19C．32D．187．从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个偶数和1个奇数，组成没有重复数字的三位数的个数为A．36B．42C．45D．542568．高为5的圆锥的顶点和底面圆都在球O的表面上，若球O的体积为π，则这个圆3锥的体积为25A．5πB．πC．25πD．75π39．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个．这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为A．754B．755C．756D．75710．把不超过x的最大整数记作x，如0.30，3.73，2.83，若实数a，b11满足3a5b，且1，则2ababA．6B．7C．8D．922．设双曲线xy的左、右焦点分别为，，过的直线分别交111(a0，b0)F1F2F1a2b2△双曲线左、右两支于A，B两点，ABF2是以AB为斜边的等腰直角三角形，则双曲线离心率为A．2B．3C．2D．33f(x)12．已知f(x)aln(x1)x34x2，g(x)xexlnxx，若不等式0的解集4g(x)中只含有2个正整数，则a的取值范围为2572992572A．(，]B．(，0]C．(，0]D．(，]ln5ln6ln3ln2ln4ln5一诊数学（理）试卷第2页（共4页）{#{QQABKQaQogAAQAIAABgCEQGYCgAQkAECCIoGQAAMoAIAgBNABAA=}#}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个同时满足下列两个条件的角=_______（用弧度度制表示）.①0,π，②cos≤0.a14．(x)5的展开式中x3的系数为20，则a的值为_______.xx215．函数f(x)lnmtanx3，且f(t)6，则f(t)的值为_______.x216．已知O为平面四边形ABCD内一点，数列an满足a14，当n≥2时，恒有，，相交于点OD(an2n)OA(anan14n1)OB(an12n2)OCACBD，且，设数列的前项和为，则E2AEECannSnS5_______.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值(单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；（2）视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过万元的概率．600频率组距0.0400.0250.0200.0100.005590600610620630640产值（万元）18．（12分）记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若a2b2c22，2△ABC的面积为．4（1）求tanB；（2）若b1，求cosAcosC．一诊数学（理）试卷第3页（共4页）{#{QQABKQaQogAAQAIAABgCEQGYCgAQkAECCIoGQAAMoAIAgBNABAA=}#}19．（12分）如图，在四棱锥MABCD中，MA平面ABCD，AD∥BC，CDAD，BC2，ADDC1，点N为MB的中点．（1）证明：平面MAB平面NAC；22（2）若直线MB与平面ANC所成角的正弦值为，MA1，求平面NAC与平3M面MAD所成锐二面角的余弦值．N20．（12分）AD已知函数h(x)mexx1．BC（1）若h(x)在(0，4)上有唯一零点，求m的取值范围；（）若≥对任意实数恒成立，证明：22．2h(x)h(x0)xmh(x0)m3m121．（12分）已知，椭圆的面积为Sπab（其中，a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）．若22椭圆xy的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，C:1(ab0)F1F2F1CPMa2b2两点，直线与的另一交点为（，，均不与顶点重合），△的周PF2CNPMNCPMF2长为8，C的面积为23π．（1）求C的标准方程；（2）O为原点，记直线MN，OP的斜率分别为kMN，kOP，求kMNkOP的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，π3π曲线C是以(3，)为圆心，且过点(32，)的圆．24（1）求曲线C的直角坐标方程和极坐标方程；π（2）若M，N为曲线C上两个动点，且MON，求△MON面积的最大值．323．[选修4-5：不等式选讲]（10分）记不等式x2≥2x11的解集中最小整数为t．（1）求t的值；n2m2（2）若m，n(t，)，且mn5，求的最小值．m2n2一诊数学（理）试卷第4页（共4页）{#{QQABKQaQogAAQAIAABgCEQGYCgAQkAECCIoGQAAMoAIAgBNABAA=}#}达州市普通高中2024届第一次诊断性测试理科数学参考答案一、选择题：1.B2.A3.C4.C5.A6.A7.B8.C9.B10.C11.B12.C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．3ππ13．（答案在,π内均可）14．415．016．9242三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)(0.0200.010)104012，∴产值小于610万元的调研城市个数为12.根据频率分布直方图得中位数为6105615.(2)40个城市中任取1个，产值超过600万元的频率为（1-0.02）100.8．设从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元为事件A,4132∴P（A）=C2()2()3．55562532所以恰有2个城市的产值超过600万元的概率为．62518．解：(1)∵a2b2c22，∴b2a2c22，又∵b2a2c22accosB，∴accosB1．………………①∵12，∴2．………………S△acsinBacsinB②ABC2422∴由①②得tanB．223acb3(2)由tanB得sinB，由13，23sinAsinCsinB3∴a3sinA,c3sinC,∴ac3sinAsinC．6366由(1)accosB1，cosB得ac，∴sinAsinC3626△ABC中，cosBcos(AC)(cosAcosCsinAsinC)．666∴cosAcosCsinAsinCcosB．63619．解：（1）∵MA平面ABCD，AC平面ABCD，∴ACMA．在梯形ABCD中，由ADDC1，CDAD得AC2由AB2．△ABC中，AC2AB2BC2，∴ACAB又MAABA，∴AC平面MAB，∵AC平面NAC，∴平面MAB平面NAC．（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设MAt11t则M(0,0,t)，B(1,1,0)，C(1,1,0),A(0,0,0),N(,,)222一诊数学（理）答案第1页（共4页）{#{QQABKQaQogAAQAIAABgCEQGYCgAQkAECCIoGQAAMoAIAgBNABAA=}#}11t∴MB(1,1,t)∵AC(1,1,0)AN(,,)，222z设平面ANC的法向量为m(x,y,z)则：M(1,1,0)(x,y,z)0，ACm0，∴∴11tANm0，(,,)(x,y,z)0，N222xy0，A∴11t．Dyxyz0BC222x22令x1，则y1，则z，则m(1,1,)，由MB与平面ANC所成角的tt2211222正弦值为得cosMB,m，∴t1（舍）．4331212t21212t2t2，m(1,1,1)，设平面MAD的法向量为n(1,0,0)，13则cosm,n．31320．（1）∵函数h(x)mexx1在0,4上只有唯一零点，x1∴mexx10在(0,4)上只有一个根，∴m在(0,4)上只有一个解.exx12x设k(x)∴k(x)，当0x2时，k(x)0，exex13当2x4时k(x)0，∴k(x)k(2)，又k(0)1，k(4)，maxe2e431∴m的取值范围为1,．e4e2（）要证22，2mh(x0)m3m11313即证h(x)1，即证h(x)1，∵h(x)mexx1，0m2mminm2m∴h(x)mex1，当m≤0时，h(x)0恒成立，h(x)无极值.当m0时，h(x)mex10,得xlnm.当xlnm时,h(x)0,当xlnm时,h(x)013∴h(x)h(lnm)2lnm∴即证2lnm1minm2m13即证lnm3，m2m1x1∵r(x)xlnx1，∴r(x)1，xx∵当0x1时，r(x)0，当x1时，r(x)0