2023年12月绵阳南山中学高2021级高三上期12月月考文科数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分题号123456789101112答案CBDCABBDACAD12.解：因为f(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)……①因为f(x2)为偶函数，所以f(x2)f(x2)……②令x1，由①得f(0)f(2)(4ab)，由②得f(3)f(1)ab因为f(0)f(3)6，所以(4ab)ab6，∴a2，令x0，由①得f(1)0，即b2；所以f(x)2x22。9135由两个对称性可知f(x)的周期为4，所以f()f()f()2222二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．y2x2913.114.715.3.216.242解：设点（），（），（），则，，16.Ax1,y1Bx2,y2Px0,y0AFy11BFy21由题直线AB的方程为，AFBFy1y2y1y21，x0x2(yy0)xx2(yy)所以由00有222，2y(2y0x0)yy00x4y所以2，2。因为点为上的一个动点，所以，y1y2x02y0y1y2y0Plx0y02所以2AFBFy1y2y1y212y02y0519所以当y时AFBF取得最小值022三、解答题：第1页共4页17.（本小题满分为12分）12111(1)证明因为－＝1，所以＋1＝2(1)，又＋1＝2，＋n＋1an1aan1ana1所以数列1为等比数列，且首项为2，公比为2.an1解由知1＋＝n，所以＝n＋－(2)(1)12bn2n22n1.naann2(12)n(12n1)＋所以S＝2n1＋n2－2.n12218.解析(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为22=3.2222所以圆C的方程为(x-3)+(y-1)=9.23+(t−1)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:�-�+�=0,消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.2由已知可得2,判别式Δ=56-16a-4a2>0.(�-3)+(y−1)=9.因此x1,2=,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①22(8-2�)±56−16�-4��-2a+12由于OA⊥OB,可得4x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,2所以2x1x2+a(x1+x2)+a=0.②由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.1319.解：（Ⅰ）f(x)(1cos2x)sin2x…………………2分221sin(2x),……………………3分262π因为f()x最小正周期为π,所以π，解得ω1……………………4分2ω,π1所以f(x)sin(2x),………………5分622π1所以f().……………………6分32113（Ⅱ）由f(A)1得sin(2A)，∵2A（，），626665∴2A∴A663∵a3,∴由余弦定理有(3)2b2c22bccos，3bc即(bc)233bc3()2，∴bc23（当且仅当bc时取“=”），2故labc33，即ABC为等边三角形时，周长有最大值33第2页共4页20.解(1)由题意可得2a＝22，且b＝c，又c2＝a2－b2，所以可得a2＝2，b2＝1，x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1.2(2)由(1)可得右焦点F2(1,0)，再由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x＝my＋1，联立直线与椭圆的方程可得整理可得(2＋m2)y2＋2my－1＝0，x2＋2y2＝2，－2m－1所以y1＋y2＝，y1y2＝，由题意可得四边形MNPQ为平行四边形，2＋m22＋m22－124m1所以S＝4S△OPQ＝4××|OF2|×|y1－y2|＝2×1×y1＋y2－4y1y2＝2－4·22＋m222＋m21＋m211＝42＝42≤42＝22，2211＋1＋m1＋m2＋＋22＋21＋m21当且仅当1＋m2＝，即m＝0时取等号，所以四边形MNPQ面积的最大值为22.1＋m221．(1)解∵函数f(x)＝－lnx－ax2＋x(a≥0)，12ax2－x＋1－2ax2＋x－1∴f′(x)＝－－2ax＋1＝－＝，x>0，xxxx－1∵a≥0，∴当a＝0时，f′(x)＝，x>0，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴当x＝1时，f(x)有极小值；1当a≥时，Δ≤0，故f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故此时f(x)无极值；811－1－8a1＋1－8a当00，方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2.可得x1＝，x2＝，84a4a1－1－8a1＋1－8a0，，＋∞易知00，f(x)单调递增；∴f(x)在x＝x1处有极小值，在x＝x2处有极大值．11综上所述：当a＝0时，f(x)有1个极值点；当a≥时，f(x)没有极值点；当0g8＝3－2ln2，∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.22．(10分)1π13x＝＋tcos，x＝＋t，2622解直线的参数方程为为参数，即为参数，(1)lπ(t)1(t)y＝1＋tsiny＝1＋t62πθ－由ρ＝2cos4可得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，11x－y－1所以x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为22＋22＝.213x＝＋t，1122x－y－把代入2＋2＝1，得2＋1－1＝(2)122tt0.y＝1＋t224211设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.443，x<－1，23．(1)解当t＝1时，f(x)＝|x－2|－|x＋1|，故f(x)＝－2x＋1，－1≤x<2，－3，x≥2.所以当x<－1时，f(x)≤1不成立，解集为∅；当－1≤x<2时，由－2x＋1≤1，得0≤x<2；当x≥2时，f(x)≤1恒成立．所以f(x)≤1的解集为[0，＋∞)．(2)证明由绝对值不等式得|tx－2|－|tx＋1|≤|(tx－2)－(tx＋1)|＝3，所以f(x)的最大值为3，即m＝3，1＋a1＋b1＋c3＋a＋b＋ca＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c≤＋＋＝＝3，2222当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．第4页共4页