2024届高三联考数学（理科）参考答案一．选择题：题号123456789101112答案CBACCABBDACD二、填空题2213．14．315．ann=+2116．4l+n2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分12分）2设函数fxxx()cos(2)sin=++224（1）求函数fx()在区间[-,]上的最大值和最小值；1231（2）设函数gx()对任意xR，有gxgx()()+=，且当x[0,]时，gxfx()()=−；222求函数在[,0−]上的解析式.2f(x)=cos(2x+)+sin2x2421−cos2x11=（cos2xcos-sin2xsin)+=−sin2x+解析：（1）由已知244222..........2分2x[-,]2x[-,]又因为123则631sin2x[-,]13所以2，即f(x)=f(-)=，f(x)=f()=0min124max43所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0...........6分4（2）由可知函数最小正周期为2，理科1{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}1gx()xsin=2x[0,]又由（1）可知2（2）.........7分11x−[0]，x+[0，]gxxx()sin+=+=2()sin−2当2时，22则222211gx()g(x)+=gxxx()sin=+=2()sin−2由2知222..........9分11x−[,−)x+[0，)gxxx()sin+=+=2()sin2当2时，2则221g(x)=sin2x由g()()x+=gx知2..........11分1−−sin2(0)xx22gx()=1sin2()xx−−综上，22..........12分18.（本小题满分12分）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出50个，测得其内径尺寸（单位：mm）如下：28.518，28.526，28.504，28.481128.49p，28.541，28.537，28.47q这里用xn表示有n个尺寸为xmm的零件，pq,均为正整数．若从这50个零件中随机抽取1个，则这8个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为．25（1）求pq,的值．（2）已知这50个零件内径尺寸的平均数为xmm，标准差为smm，且s=0.02，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在x−+s,xs内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．理科2{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}864111750,+++++++=pqp=8,解：（1）依题意可得11+q8解得..........5分=,q=5.5250（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为10.01+++80.026040.02110.0180.04−+−+(++−=)10.0370.0350()()，50所以x=+=028.5028.50，..........7分所以x−=+=sxs28.48,28.52，所以这60个零件内径尺寸在xs−+xs,内的个数为50-1-7-5=37...........10分3740因为=0.8，所以这次抽检的零件不合格．..........12分505019.（本小题满分12分）如图，在底面ABCD为矩形的四棱锥PA−BCD中，平面PAD⊥平面PCD．(1)证明：AB⊥平面PAD(2)若PB=10,PD=32,AD=3,AB=1，E在棱AD上，且ADAE=3，求PE与平面PBD所成角的正弦值．解：(1)过点A作AH⊥PD垂足为H∵平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面PCD=PD又AH面PAD,AH⊥PD∴AH⊥平面PCD.…3分又∵CD平面PCD∴AH⊥CD∵AB//CD∴AB⊥AH∵AB⊥AD,AH∩AD=A∴AB⊥平面PAD..........6分(2)由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA理科3{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}∴在Rt三角形PAB中，∠PAB=90°,PB=10,AB=1∴PA=3在△PAD中,PA=3,AD=3,PD=32,由勾股定理逆定理可知PA⊥AD，又∵AB⊥PA,AB⊥AD……………8分以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AP方向为X轴Y轴Z轴建立坐标系如图所示则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,3,0),P(0,0,3),E(0,1,0),∴PBPDPE===(1,0,-3)(0,3,-3),(0,1,-3),设平面PBD的法向量为，则,即可知n=(x,y,z)n=PD0xz−=30n=(3,1,1)3yz−=30n=PB0PEPBD设与平面所成角为θ，则2110sin|cos,|===PEn111055∴与平面所成角的正弦值为110...........12分5520.（本小题满分12分）x2已知抛物线C:y2(0)2=pxp的准线与椭圆+=y21相交所得线段长为3.4（1）求抛物线C的方程；（2）设圆M过A(2,0)，且圆心M在抛物线C上，BD是圆Ｍ在y轴上截得的弦.当Ｍ在抛物线C上运动时，弦BD的长是否有定值？说明理由；（3）过F(1,0)作互相垂直的两条直线交抛物线C于G、H、R、S，求四边形GRHS的面积最小值．p3解：（1）由已知，抛物线C的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是(,)−，把代入椭圆22p23方程化简得+=1，解得p=2164所以抛物线C的方程为yx2=4...........4分（2）假设Ｍ在抛物线C上运动时弦长有定值，理由如下理科4{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}设Mx(,y)00在抛物线C上，可知到y轴距离为||x022根据圆的弦长公式可知：BDx=−2|MA|||02222由已知：|MA|=+(-2)xy00，yx00=422222所以BDxxxyx=−=−++−=2|MA|||244400000则Ｍ在抛物线C上运动时弦BD的长的定值为4...........8分（3）设过F的直线方程为yk=−x(1),G(x1,,,y1)H(x2y2)yk=−x(1)24k2+42222，由2得kxkxk−++=(24)0得xx12+=2则GHxx=++=+24122yx=4kk同理得RSk=+4421141所以，四边形GRHS的面积TGHRSkk==++=++(4)(44)8(1)322222kk22即四边形的面积的最小值为32...........12分21.（本小题满分12分）1已知函数fxxax()ln=−+．x（1）讨论fx()的单调性；fxfx(12)−()（2）若fx()存在两个极值点xx12,，证明：−a2．xx12−11axax2−+fx()1=−−+=22−解:（1）fx()的定义域为(0,)+，xxx...........2分2（i）=−a40时，即−22a时，fx()0，当且仅当a=2，x=1时fx()0=，所以在单调递减.2（ii）=a−40时，即a2或a−2时①若，在(0,+)上fx()0所以在单调递减.aa−−24aa+−24x=x=②若a2时，令fx()=0得，2或2.理科5{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}aaaa−−+−2244x+(0,)(,)当22时，fx()0；aaaa−−+−2244x(,)当22时，fx()0.aaaa−−+−2244(0,),(,)+所以fx()在22单调递减，a−a22−44a+a−(,)在22单调递增.综上，若a2时，在(0,)+单调递减.若a2时，在单调递减，在单调递增...........6分（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.xx,2xx=1由于的两个极值点12满足xax−+=10，所以12，xxx1不妨设12，则2.由于f(x)−f(x)1lnx−lnxlnx−lnx−2lnx12=−−1+aaa12=−2+12=−2+2x−xxxx−xx−x112121212−xx22，f()()x−fx112−a2−xx+2ln0xx−x22所以12等价于2.1g(x)=−x+2lnx设函数x，由（1）知，gx()在单调递减，又g(1)=0，从而当x(1,+)时，gx()0.所以，即...........12分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程理科6{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}x=3cos()为参数在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半1y=sin轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin(+=)22.24（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x2解：（1）C的普通方程为+=y21，C的直角坐标方程为xy+−40=...........5分132（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为是直线，所以||PQ的最小值，即为到的距离d()的最小值，|3cossin4+−|d()2|==+−sin()2|...........8分23当且仅当=+2()kkZ时，取得最小值，最小值为2，631此时的直角坐标为(,)...........10分2223.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数fxxaa()|2|=−+（1）当a=2时，求不等式fx()6的解集；（2）设函数gxx()|21|,=−当xR时，fxgx()()3+，求a的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当a=2时，fxx()|=−+22|2.解不等式|2x−2|+26，得−13x.因此，fx()6的解集为{xx|−13}...........5分（2）当xR时，f()()xg+=−+xx|2||1aax+−2||2x−a+1−2x|+a=|1−aa|+，理科7{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}1当x=时等号成立，2所以当xR时，fx(g)(x)+3等价于|1|−3+aa.①..........7分当a1时，①等价于13−aa+，无解.当a1时，①等价于aa−+13，解得a2.所以a的取值范围是[2,)+...........10分理科8{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}