2024届高三第一次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知幂函数的图象过点，则A． B． C． D．3．已知为虚数单位，，则的模为A． B． C． D．4．在中，“”是“为锐角三角形”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在等比数列中，，是方程两根，若，则的值为A． B． C． D．6．已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为A． B． C． D．7．已知函数，则函数的图象可能是ABCD8．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则A． B． C． D．9．已知，若，则A． B． C． D．10．已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．11．若，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．12．已知函数若有个实数解，则实数的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数则_______．14．已知数列的前项和为，且，则_______．15．设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______．16．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”．甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率；18．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若边上的中线长为2，求面积的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，短半轴长为，点在椭圆上运动，且的面积最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）当点为椭圆的上顶点时，设过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．21．（12分）已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，设函数，求证：有解．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交弦的中点坐标为，求直线的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知定义域为的函数.（1）若，求函数的最小值；（2）若，不等式恒成立，求实数的最小值.