攀枝花市2024届高三第一次统考数学（文科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）（1~5）BACCB（6~10）DACDA（11~12）CD二、填空题：（每小题5分，共20分）2551−13、114、215、16、(0，]22三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（本小题满分12分）解：（）因为，所以当时，.……………………分12Snn=na+1n≥22Snn−1=(na−1)1两式相减得：.……………………分(n+=1)annna+13aaa从而nn=+1，即数列{}n是常数列.……………………5分nn+1naa又1=1，所以n=⇒=1ann(∈N)*.……………………6分1nnnn123n（2）因为ann⋅=⋅22，所以Tnn=×12+×22+×32++×2，23nn+12Tn=1×2+×22++(nn−1)×2+×2.………………8分两式相减得：123nn+1−=Tn222++++2−×n22×−(12n)=−×n2n+1.……………………10分12−=(1−n)2n+1−2n+1*即Tn=−−2(1nn)2(∈N).……………………12分18、（本小题满分12分）解：（1）由题意有bcosC+3bsinCac−−=0，由正弦定理得sinBcosC+3sinBCsin−−=sinAsinC0.……………………2分∵ABC++=π，∴sinBcosC+3sinBsinC−sin(BC+−)sinC=0，∴3sinBCsin−cosBCsin−=sinC0π1∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，所以sin(B−=).……………………4分62πππ∵B∈(0,π)，∴B−=，故B=.……………………5分663b∴外接圆直径22R==，故R=1.……………………6分sinBπ（2）由题意知B=，而BA⋅=BCaccosB=6，所以ac=12.……………………7分3由余弦定理知b2=+−a22c2accosB=+(ac)2−2ac(1+cosB)=12，所以b=23.………………9分高三第一次统考数学（文）参答第1页共4页{#{QQABCYQQogigABJAAQgCQw3iCkAQkBECACoGABAIsAABgANABAA=}#}1又∵S=⋅=acsinB33.…………………10分∆ABC21由△ABC的面积S=(abcr++)=33，得r=1.…………………12分∆ABC219、（本小题满分12分）证明：（1）分别取PB，PC的中点F，G，连接EF，DG，FG.……………………2分∵四边形ABCD，E是AD的中点，11∴DE=BC，DE//BC，FG=BC，FG//BC，22∴DE=FG，DE//FGG∴四边形DEFG是平行四边形.……………………4分∴EF//DG，又EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，F∴EF//平面PCD.……………………6分（2）易知∆CDE、∆PDE为直角三角形，1111则S=CD⋅DE=×221×=2，S=PA⋅DE=××=211.……………………8分∆CDE22∆PDE223又∵PD=PC=CD=22∴S=PD2=23.……………………9分∆PCD4P（法一）∵PE=5,PC=22,CE=3过点P作PH⊥CE，垂足为H，设HE=x，CH=3−x则PH22222=−=−PCCHPEHE，即PH2=−−8(3x)22=−5x解得x=1，从而PH=2C11HE∴S=CE⋅PH=××32=3.……………………11分∆PCE22PC222+−CEPE122（法二）∵PE=5,PC=22,CE=3∴由余弦定理得cos∠=PCE==22PC⋅CE1222112从而sin∠=PCE，∴S=PC⋅CE⋅sin∠PCE=×22××3=3.……………………11分2∆PCE222∴.……………………分SP−CDE表面积=SSSS∆∆∆∆PDE+CDE+PCD+PCE=+++=++1223342231220、（本小题满分12分）解：（1）由题知：c=2得到ab22−=2.……………………1分bb2261又e=−=1⇒=.……………………2分aa2233x2解得a2=3，b2=1，则椭圆C的方程为+=y21.……………………4分32（2）由已知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:2y=kx−，则P(,0).……………………5分kyy+−xx11=设Ax(11,y),Bx(2,y2)，则Dx(,11−y)，直线BD的方程：.……………………7分yy2+−1xx21x12y+x21y2kx12x−+2(x1x2)令y=0，得点Q的横坐标为xQ==①y12+ykx(12+−x)4高三第一次统考数学（文）参答第2页共4页{#{QQABCYQQogigABJAAQgCQw3iCkAQkBECACoGABAIsAABgANABAA=}#}y=kx−2由2得22，则2x2(3k+1)x−12kx+=90∆>01⇒k>+=y1312k9且x+=x,xx=.……………………9分1231kk22++123118k−⋅212k−6kk3代入①，则x===.……………………10分Q12kk22−4(3+−1)4223k23k23从而OP+OQ=+=+≥|xPQ||x|||||23，当且仅当|||=|，即k=±时取到等号.k2k23所以OP+OQ的取值范围为[23,+∞).……………………12分21、（本小题满分12分）解：（1）a=1时，函数fx()=ex−x的定义域为R，fx′()=ex−1.……………………1分由fx′()=0解得x=0.……………………2分当x∈(−∞,0)时，fx′()<0，fx()在x∈(−∞,0)单调递减；当x∈(0,+∞)时，fx′()>0，fx()在x∈(0,+∞)单调递增.……………………3分（2）gx()=(x2−−a1)ex，则gx′()=(x2+2x−−a1)ex．…………………4分2根据题意，得方程x+2xa−−=10有两个不同的实根xxx121,(0，即a>−2且xx12+=−2，所以xx12<−1<．…………………5分由x22，可得22xx22tg(x2)≥+(2x12)(e+x−3)tx(2−−a1)e≥(2+x12)(e+x−3)2又xa2−−=−12x2,2+x12=−xx2x222xx22∴总有−2tx2e≥−(x22)(e+−⇒x3)x2[2te−(e+−≤x23)]0对x2>−1恒成立．…………………6分xx222①当x2=0时，xt22[2e−(e+−≤x3)]0恒成立，此时t∈R；………………7分x22xx222e3+−x2②当x2(1,0)时，2txe−(e+2−≥3)0成立，即2t≥ex2x222令函数e3x2，则xx2223(x21)(x23)在恒成立hx()2hx()20x2(1,0)ex2eexx22故hx()2在x2(1,0)单调递增，所以2th(0)2t1．………………9分x22xx222e3+−x2③当x2(0,)时，2txe−(e+2−≤3)0成立，即2t≤ex2e3x2x2(xx1)(3)由函数2，则22，解得hx()2hx()2x0x23ex2e2当x2(0,3)时，hx()20，hx()2单调递增；当x2(3,)时，hx()20，hx()2单调递减2又x23，当时，hx()21x2hx()21ex2∴所以2th(0)2t1．…………………11分综上所述，t=−1．……………………12分请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．高三第一次统考数学（文）参答第3页共4页{#{QQABCYQQogigABJAAQgCQw3iCkAQkBECACoGABAIsAABgANABAA=}#}22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程π解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρθsin(+−)32=0,即ρsinθρ+cosθ−=60.……………2分4由xy=ρcosθ,=ρθsin,可得直线l的直角坐标方程为xy+−=60.…………………3分x=23cosαxy22将曲线C的参数方程,消去参数α,得曲线C的普通方程为+=1.…………………5分y=2sinα124π（2）设Q(23cosαα,2sin)，点P的极坐标(22,)化成直角坐标为(2,2).…………………6分4则M(3cosαα++1,sin1).…………………7分π2sin(α+−)43cosαα+−sin43∴点M到直线l的距离d==≤32.…………………9分22π7π当sin(α+=−)1,即α=2kkπ+()∈Z时,等号成立.36∴点M到直线l的距离的最大值为32.…………………10分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲11解：（1）∵fx()=−+xa，∴fxm(+)=+−+xma.…………………1分2a2a∴fx()−fxm(+)=−−+−≤xaxmam.…………………3分∴m≤1，∴−≤11m≤，∴实数m的最大值为1.…………………5分1−3xa+++1,xa<,2a1111（2）当a<时，gx()=f(x)+−=−+−+21xxa21x=−−xa++1,a≤x≤,22a22a113xa−+−1,x>,22a111−2aa2++1∴gx()=g()=−+a=≤0.…………………8分min222aa210,<