常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高三年级数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．B3．C4．B5.C6.D7.A8．A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．BC10.AC11．AD12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7313.6014．2,715．16．(1)3(2)252四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1xa2xa317.（1）Ax|327x|333x|a2xa3，9即A(a2,a3].当a2时，퐴=(0,5],……………………2分22由，得03x21，解得，即………………………4分log1(3x2)0,x1B(,1]33322ð∁푈퐵=(−∞,]∪(1,+∞)∴UBA0,1,5.……………………6分33（2）由xB是xA的充分不必要条件，可知集合B是集合A的真子集.2a2所以3,（且两等号不能同时成立），………………………………………………8分a318解得2a，38经检验符合集合B是集合A的真子集，所以a的取值范围是2,.………10分318.∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(-1)=f(1)解得k=1……………………3分푥−푥−푥푥当k=1时，푓(푥)=푙표푔2(2+2),푓(−푥)=푙표푔2(2+2)=푓(푥)，f(x)为偶函数符合条件∴k=1……………………………………………….…6分（2）푓(푥)在（−∞，0]上单调减，在[0,+∞)上单调增……………………...…8分푓(2푥−1)>푓(푥+1)⇒푓(|2푥−1|)>푓(|푥+1|)∴|2푥−1|>|푥+1|解得x<0或x>2∴不等式解集为(−∞,0)∪(2,+∞)……………………………………………..…12分2ax2(12a)x1(2ax1)(x1)19.(1)x0f(x)，xx11因为x是函数f(x)的极值点，所以f()0，解得a1，……………………3分22经检验，a1符合题意，故a1．…………………4分1学科网（北京）股份有限公司2ax2(12a)x1(2ax1)(x1)(2)x0f(x)，xx当a0时，当0x1时f(x)0，当x1时f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；……………………………6分1当a0时，令f(x)0，解得x或x1，2a11当1，即a时，2a211因为当x1时f(x)0f(x)0，当0x或x1时2a2af(x)0，11所以f(x)在0,上单调递减，在,1上单调递增，在1,上单调递减．………8分2a2a11当1，即a0时，2a211因为当1x时f(x)0f(x)0，当0x1或x时2a2af(x)0，11所以f(x)在0,1上单调递减，在1,上单调递增，在,上单调递减．………10分2a2a11当1，即a时，当x0时，f(x)02a2所以f(x)在0,上单调递减………………11分综上，当a0时f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；111当a0时，f(x)在0,1上单调递减，在1,上单调递增，在,上单调递减；22a2a1当a时，f(x)在0,上单调递减；2111当a时，f(x)在0,上单调递减，在,1上单调递增，在1,上单调递减．22a2a……12分20.（1）连结AC交BD于O，连结MO.∵PA//平面MBD2学科网（北京）股份有限公司PA⊂平面PAC平面PAC∩平面PBD=MO∴PA//MO…………………………..3分푃푂푃푀2퐴퐵2==由△퐴퐵푂∼△퐶푂퐷可得=,CD=1……………….4分∴푂퐶푀퐶1퐶퐷1∴（2）由题意可求得퐵퐷=2,퐴퐷=2,퐴퐵=2，퐵퐷2+퐴퐷2=퐴퐵2，∴BD⊥AD……………………….5分z又∵平面PAD⊥平面ABCDP平面PAD∩平面ABCD=ADMDCBD⊂平面ABCDy∴B3D⊥平面PAD………………………………………7分ABPA⊂平面PAD∴BD⊥PA,又∵PA⊥PD,PD⊂平面PBD,BD⊂平面PBD,PD∩BD=Dx∴PA⊥平面PBD……………………………………………8分（3）取AB中点E，以DE为x轴，DC为轴，过D作z轴⊥底面ABCD∴A(1,-1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)取AD中点F，∵△PAD为正三角形∴PE⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩平面ABCD=AD112PE⊂平面APD∴PE⊥平面ABCD∴P(，−，),222푚∙퐵퐶=0设푚=(푥,푦,푧)为平面PBC的一个法向量，푚∙푃퐵=0解得푚=(0,2,3)为平面PBC的一个法向量………………………………………10分11222푃퐴=(,−,),푠푖푛훼=푐표푠<푚,푃퐴=2222||11∴PA与平面PBC所成角的正弦值为222……………………………………….12分1121.（1）的可能取值为，则；；，…………………………………………………3分013学科网（北京）股份有限公司的分布列为：．……………………………………………4分（2）由（1）知，……………………………………………………………5分经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：一是甲两轮得分都为；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得分，则．………………………………………………7分经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：三轮中甲得分都为；三轮中甲有两轮得分，另一轮得0分；三轮中甲有一轮得分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得分，另一轮得1分，则，………………9分由题意，点均在函数的图象上，则，解得：，，．……………………12分22.（1）由fxex(a1)xcosx2可得fxex(a1)sinx，…………1分此时切线斜率为f0e0a1sin0a，而f0e00cos020；…………3分所以切线方程为y0ax0，即yax；即曲线yfx在点0,f0处的切线方程为yax；…………4分（2）根据题意，若fx在0,上单调递增，即可得fxexa1sinx0在0,上恒成立，即a1sinxex恒成立；…………5分令gxsinxex,x0,，则gxcosxex,x0,；4学科网（北京）股份有限公司x显然e在x0,上满足exe01，而cosx1恒成立，所以gxcosxex0在x0,上恒成立；即gxsinxex在x0,单调递减，…………6分所以gxg01；所以a11即可；所以实数a的取值范围为0,.…………8分（3）令fxex(a1)xcosx20,(a0)，即可得excosx(1a)x2；构造函数hxexcosx，x0,，易知hxexsinx0在0,上恒成立，即hx在0,上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数y(1a)x2恒过0,2，且h0e0cos0=2，0x易知h0esin01，所以函数hxecosx在0,2处的切线y(1a)x2方程为yx2；又a0,1a1，所以y(1a)x2（图中虚线）在0,范围内恒在yx2（图中实直线）的上方；所以由图易知y(1a)x2与hxexcosx在0,范围内仅有一个交点，即函数fx在0,内仅有一个零点.…………12分5学科网（北京）股份有限公司