永州市2024年高考第一次模拟考试数学命题人：郭志成（永州四中）眭小军（永州一中）李卫青（祁阳一中）罗辉友（新田一中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则A． B． C． D．2．复数满足，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，，且，则A．2 B．1 C．0 D．-14．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系中，过直线上一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则的最大值为A． B． C． D．6．已知椭圆C:的左、右焦点分别是，，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率为A． B． C． D．7．若数列的前n项和为，，则下列结论正确的是A． B．C． D．8．已知函数，若，，在区间上没有零点，则的取值共有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列关于概率统计说法中正确的是A．两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱B．设随机变量，若，则C．在回归分析中，为的模型比为的模型拟合得更好D．某人解答10个问题，答对题数为，，则10．对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是真数x2345678910（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．在区间内 B．是15位数C．若，则m=-43D．若是一个35位正整数，则11．菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球O与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是A．平面 B．球O的表面积为C．球O被三棱锥表面截得的截面周长为D．过点O与直线，所成角均为的直线可作4条12．已知函数与的定义域均为R，，，且，为偶函数，下列结论正确的是A．4为的一个周期B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）．14．在平行六面体中，，，，P为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则（用，，表示）．15．若函数，当时，，则实数的取值范围．16．已知点在抛物线上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线相交于A、B两点，与线段NF相交于点R，且．若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．18．在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角C；(2)若，的内切圆半径，求的面积．19．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且，、分别为、的中点，在线段上，且．(1)求证：//平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．20．某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品A、B、C，其中A、B、C能通过行业标准检测的概率分别为，，，且A、B、C是否通过行业标准检测相互独立．(1)设新品A、B、C通过行业标准检测的品种数为X，求X的分布列；(2)已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为，现从足量的新品A中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．参考数据：，，，，21．已知点为圆C：上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．(1)求点的轨迹E的方程；(2)设轨迹与x轴分别交于、两点（在的左侧），过的直线与轨 迹E交于、两点，直线与直线的交于P，证明：P在定直线上．22．已知函数，．(1)当时，求证：；(2)若时，，求实数a的取值范围．