武汉市2024届九所重点中学第一次联考数学试卷武汉市第一中学命制2023.10.14本试卷共4页，22小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则的元素个数为（）A．4 B．5 C．2 D．02．与垂直的单位向量是（）A． B． C． D．3．以下满足的虚数z是（）A． B． C． D．4．多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（）A．1 B．243 C．64 D．05．在集合的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是（）A． B． C． D．6．如图，三棱台中，，现在以下四项中选择一个，可以证明的条件有（）①； ②；③； ④；A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．抛物线C：的焦点为F，顶点为O，其上两点A，B满足；过O点作于C，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．求值：（）A． B． C．1 D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．将三角函数经如下变换后得到的图象：①将图象向右平移个单位；②将图象向左平移个单位；③将图象向下平移个单位；④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍；以下变换顺序正确的是（）A．④①③ B．④③①① C．②②③④ D．③①④10．等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（）A． B． C． D．11．如图，在平整的地面上任一点O处观测点P处的太阳时，可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆，且这个圆在以O为球心，半径很大的球面上．白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分．在点O处立一根杆OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影，且P，A，三点共线，则白天时点在地面上运动的轨迹可能是（）A．一个抛物线 B．一条直线 C．一个半椭圆 D．双曲线的一支12．已知，若它的图象恒在x轴上方，则（）A．的单调递增区间为B．方程可能有三个实数根C．若函数在处的切线经过原点，则D．过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：______．14．平面直角坐标系中有一直线l：，用斜二测画法画出平面的直观图，在直观图中直线l恰为x轴和y轴的角平分线，则______．15．已知矩形ABCD和另一点E，，，且，连接AE交直线BC于点F，若的面积为6，则______．16．一张圆形餐桌前有个人，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜．现规定每人只能在相邻两人或餐桌中心的三道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记未被夹取过的菜肴数为，则______，的通项公式为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）等差数列中，，的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对任意正数k，均存在使得成立．18．（12分）已知函数，（1）求的极值；（2）作在处的切线交的图象于另一点，若，求l的斜率．19．（12分）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且；AB边上有一点D（D不与三角形的顶点重合）满足，（1）求C的取值范围；（2）若，求A．20．（12分）在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来的发展方向．某市大力推广新能源汽车，成果显著，该市近6年的新能源汽车保有量数据如下表，年份代号x123456保有量y（万辆）11.82.745.99.1（1）记时对应的汽车保有量为，其相较去年的增长量为，分析发现变量z和y有线性关系，试建立变量z和y的回归方程（精确到0.01）；（2）根据（1）问的结果分析：①；②；③当中哪一个更适合作为汽车保有量y与年份x的回归方程类型？判断并说明理由．附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21．（12分）空间中的两平行平面与之间的距离为4，边长为2的等边三角形，分别在平面，中，且它们中心的连线垂直于平面；若恒成立，（1）证明：，，两两夹角相等；（2）当四面体的体积最大时，求（1）问中夹角的余弦值．22．（12分）双曲线C：经过点，且点P到双曲线C两渐近线的距离之比为，（1）求C的方程；（2）过点P作不平行于坐标轴的直线交双曲线于另一点Q，作直线交C的渐近线于两点A，B（A在第一象限），使，记和直线QB的斜率分别为，，（i）证明：是定值；（ii）若四边形ABQP的面积为5，求．武汉市2024届九所重点中学第一次联考数学参考答案与评分标准选择题：1-5：ADCDB 6-8：CCA9．BCD 10．AC 11．ABD 12．AD填空题：13．（答案不唯一） 14．215．或 16．；解答题：17．（10分）解：（1）设数列的公差为d，于是，因为，所以，所以，解得，则；（2），，考虑，即，即，由于，则时，，且，结合上述不等式得，整理得，任取整数，则，原不等式成立，于是对于任意正数k，均存在使得成立．18．（12分）解：（1）的导函数，令得，，列表如下：x+00+↑极大值↓极小值↑所以有一个极大值为，一个极小值为．（2）切线l的方程为，整理得，设，且易知，则，从而，于是，解得，于是，由题意可知，方程有另一解，于是，所以，解得或，时，l的斜率，时，l的斜率；综上，切线l的斜率为3．19．（12分）解：（1）在中，由正弦定理得，则，又，且，所以，考虑到，则是锐角，若C为钝角，则，即，此时有，又，则，则；若C为锐角，则，由题意知，则，所以，又，所以，所以，综上所述，．（2）由题知，若C为钝角，则中，，不合题意，故C为锐角，也即，中，由余弦定理得，解得，因为，所以，结合正弦定理知，于是，又，则，又，将上式代入，得，解得．20．（12分）解：（1）设z关于y的回归方程为，时，，，则，，于是z关于y的回归方程为．（2）选择②，理由如下：由（1）问知z和y有线性关系，故用估计z，知，则，于是，即是首项为，公比为的等比数列，从而，满足②式的形式，故②适宜作为y与x的回归方程类型．21．（12分）（1）证明：记和的中心分别为点O，，当时，记点，，所在位置分别为点，，，易知为正三棱柱，且点，，，，，均在以为圆心的圆上，的半径为；因为，所以，同理可得，记，则在中，，由上知，于是，且，，，则，下面只需证明，因为，同理有，，而在中，由于，所以和所对弧长相等，即，所以，则，，也即，则，同理有，所以，所以，即，，两两夹角相等．（2）解：记直线和的交点为P，连接PA，PC，设和到平面的距离分别为，，作于G，于H，由（1）问知，，则，，于是平面，平面，从而，，又的面积，若P在线段上（如上图），则，因为，所以，于是，，则，若P在线段的延长线上（如下图），则，因为，所以，所以，于是，，则，综上，当时，四面体的体积取最大值，此时，则，则，，由（1）问知，，设和的夹角为，则．22．（12分）解：（1）将代入双曲线C得：，双曲线的渐近线为，即；取：，：，则点P到的距离，点P到的距离，因为且，所以，所以，于是，即，又，所以，所以，解得，所以，则，则C：．（2）i．设：，：，，将点P代入直线得：，即，联立直线和双曲线的方程，消去y得：，则，（式①）因为点A在第一象限，故联立直线与解得，则，联立直线与解得，则，所以，又，，所以，于是，（式②）②①得：，则，则，即，故为定值1．（2）ii．直线与之间的距离，由i问的证明知四边形ABQP是平行四边形，而，故四边形ABQP的面积，解得或，于是或．