专题05最短路径问题、特殊三角形的存在性问题最短路径（将军饮马）问题【类型一】1．（2022·扬州月考）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】【详解】解：是的垂直平分线，，，即点在上时，最小值为的长，，，，，最小值为4．故本题选：．2．如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为 A． B． C． D．【答案】【详解】解：的面积等于的面积的，点在的垂直平分线上，如图，作点关于该垂直平分线的对称点，连接，交垂直平分线于点，由对称性可知：，，此时最小，，，，是等腰直角三角形，，，．故本题选：．3．（2022·南京月考）如图，等腰直角中，，，为的中点，，若为上一个动点，则的最小值为 ．【答案】【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，则，，，，是的中点，，，，当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小，，为的中点，，又，，，的最小值为．故本题答案为：．4．（2022·无锡期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在小正方形的顶点上，点在边上，且点在小正方形的顶点上，连接．（1）在图中画出，使与关于直线对称；（2）与四边形重叠部分的面积 ；（3）在上找一点，使得的值最小．【详解】解：（1）如图，即为所求；（2）与四边形重叠部分的面积四边形的面积；（3）如图，点即为所求．【类型二】5．如图，等边的边长为6，是高，是边上一动点，是上一动点，则的最小值为 ．【答案】【详解】解：如图，过点作交于，交于，连接，是等边三角形的高，，，的最小值为，，，，，的最小值为．故本题答案为：．6．（2022·镇江期中）如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．【答案】【详解】解：如图，作关于的对称点，是的平分线，点在上，，当时，的最小值为，，是的平分线，，，，，的最小值为．故本题答案为：．【类型三】7．如图，直线上有两个动点，，点，在直线同侧，且点与点到直线的距离分别为和，且，动点，之间的距离恒为，则的最小值为 A． B． C． D．【答案】【详解】解：如图，作线段且，且点在点的右侧，作关于的对称点，连接交直线于点，在上的左侧截取，则即为的最小值，作交的延长线于，，，．故本题选：．【类型四】8．如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ．【答案】4【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、．此时的周长最小，由对称的性质可知：，，，，，是等边三角形，，的周长的最小值．故本题答案为：4．9．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，，，，，，、、共线，，，当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，，，，的最小值为4.8．故本题选：．【类型五】10．如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．【答案】【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形的周长．故本题答案为：．【类型六】11．（2022·扬州期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△；（2）在上画出点，使的周长最小．（3）在上找一点，使值最大．（4）的面积是 ．【详解】解：（1）如图，△即为所求；（2）如图，点即为所求；（3）如图，点即为所求；（4）的面积为，故本题答案为：．特殊三角形的存在性问题【类型一：等腰三角形】12．（2022·南京期中）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 A．5条 B．4条 C．3条 D．2条【答案】【详解】解：如图，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形．故本题选：．13．（2022·无锡期中）如图，已知中，，，在直线或上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】【详解】解：如图，第1个点在延长线上，取一点，使，第2个点在延长线上，取一点，使；第3个点在延长线上，取一点，使；第4个点在延长线上，取一点，使；第5个点在延长线上，取一点，使；第6个点在上，取一点，使；符合条件的点有6个点．故本题选：．14．（2022·盐城期中）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．【答案】40或70或100【详解】解：如图，要使为等腰三角形需分三种情况讨论：①当时，；②当时，；③当时，；综上，的度数是或或．故本题答案为：40或70或100．15．（2022·连云港期中）如图：已知在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则的度数为 ．【答案】、、、【详解】解：如图，在中，，，当时，；当时，；当时，；当时，，；的度数为：、、、．故本题答案为：、、、．16．（2022·南京期中）在中，，，，动点从点出发，沿着运动，速度为每秒2个单位，到达点时运动停止，设运动时间为秒，请解答下列问题：（1）求上的高；（2）当为何值时，为等腰三角形？【详解】解：（1）如图，过点作于点，∵，，，，，即为直角三角形，，；（2）当时，，，秒；当时，过点作于点，则，∵，，秒；当时，，，，，，，，；综上，秒或3.6秒或2.5秒．【类型二：等边三角形】17．如图，在正方形中，，、是对角线上的两个动点，且，是正方形四边上的任意一点．若是等边三角形，则符合条件的点共有 个，此时的长为 ．【答案】4，或或或【详解】解：如图，当点在上，且点在点上方时，过点于，是等边三角形，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，若点在点下方，则，同理可得：当点在上时，或；当点在上时，AE=或AE=，同理可得：当点在上时，AE=或AE=；故本题答案为：4，或或或．18．（2022·苏州月考）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．（1）如图1，若，，求的值；（2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？【详解】解：（1）如图1，是等边三角形，，，，又，，是等边三角形，，由题意可知：，则，，解得：，当的值为3时，；（2）①如图，当点在边上时，此时不可能为等边三角形；②如图，当点在边上时，若为等边三角形，则，由题意可知：，，，即，解得：，当时，为等边三角形．【类型三：直角三角形】19．（2022·南京期中）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间是 秒时，是直角三角形．【答案】12或3【详解】解：当时，，则，，，（秒）；当时，，则，，，（秒）；综上，当或3秒时，是直角三角形．故本题答案为：12或3秒．20．（2022·南通期末）如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为直角三角形时，则运动的时间为 A． B．或 C．或 D．或【答案】【详解】解：如图，过点作于点，在中，，，，，根据勾股定理得：，当为直角三角形时，分两种情况：①当点运动到点时，，此时运动时间为；②当点运动到时，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，，此时运动时间为；综上，满足条件的运动时间有或．故本题选：．【最短路径（将军饮马）问题】21．（2022·镇江期中）如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为 ．【答案】26【详解】解：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，，，，，点为的中点，，为等边三角形，射线平分，垂直平分，，点为点关于的对称点，当在点时，此时为取得最小值，，，，，．故本题答案为：26．22．（2022·海安期末）如图，在中，，，点为射线上的动点，，且．当的值最小时，的度数为 ．【答案】【详解】解：如图，过点作于点，，，，，点到直线的距离等于定值1，过点作直线，则点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，由将军饮马模型可知：此时，即点与点重合时，的值最小，由题意可知：，，，，四边形为矩形，，，，，．，，，．，，，．故本题答案为：．23．如图，为内一定点，、分别是射线、上的点，（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．【详解】解：（1）如图，作关于，的对称点，，连接，，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，即为所求；（2）关于对称，，，，，，同理可得：，，，，△是等腰三角形，，，．24．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；（2）代数应用：求代数式的最小值；（3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是 ．【详解】解：（1）如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为，作交的延长线于，由题意可得：，，的最小值，故本题答案为：；（2）构造如图4所示的图形，，，，于，于，，则，代数式的值就是的值，作点关于的对称点，过作交的延长线于，则代数式的最小值就是C’D的值，∵，，∴，代数式的最小值是5；（3）如图3，作点关于直线的对称点，作于交于，连接，则，，△为等边三角形，的最小值为，故本题答案为：．25．（2022·扬州月考）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 ．（3）应用：①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点，使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ，此时 ．【详解】解：（1）如图；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故本题答案为：两点之间线段最短；（3）①如图，分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，连接、，由轴对称的性质可知：，，，，，为等边三角形，，的周长；②、都是等边三角形，，，，，(SAS)，，，，点在射线上运动，如图，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，此时，，，是等边三角形，，，周长的最小值是，，故本题答案为：，．26．【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．【详解】解：【问题情境】，理由如下：，，，，，，；【变式探究】，；，，，；【拓展应用】①，，，