南京市2022年初中学业水平考试数学一、选择题1.实数的相反数是（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义判断即可；【详解】解：的相反数是，故选：A．【点睛】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；掌握其定义是解题关键．2.计算（a2）3，正确结果是（ ）A.a5 B.a6C.a8 D.a9【答案】B【解析】【详解】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．故选B．3.估计12的算术平方根介于（）A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【答案】C【解析】【分析】首先根据，即可得出12的算术平方根介于3和4之间．【详解】∵，∴．∴估计12的算术平方根介于3和4之间．故选C．【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出接近的有理数是解题的关键．4.反比例函数（为常数，）的图像位于（）A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】根据及反比例函数（为常数，）的性质即可解答．【详解】解：∵且，∴，∴反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限，故选：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．5.已知实数，，，下列结论中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．【详解】解：A、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；B、当时，无意义，故此选项不符合同意；C、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；D、由可以得到，故此选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．6.直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（）A.点 B.点 C.点 D.点【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．【详解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴选B．【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键．二、填空题7.地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km．【答案】3.84×105【解析】【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式．【详解】384000=3.84×105.故答案是：3.84×105.【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零即可得出答案．【详解】解：在实数范围内有意义，故x-3≠0，解得：x≠3．故答案为：x≠3．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．9.计算结果为__________．【答案】【解析】【分析】先把和化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．【详解】解：原式=3-2=．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．10.方程的解是_____________．【答案】=1，=3【解析】【分析】利用十字相乘法分解因式解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴或，解得=1，=3，故答案为：=1，=3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．11.如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则________．【答案】##32度【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答．【详解】解：过点作，∴∵，∴，∴，∴，∵在中，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．12.若，，则________．【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到，即可解答．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．13.已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据最值公式得到，即可得到，据此写出一组符合条件的a和c的值即可．【详解】解：∵二次函数的最大值为2，∴，∴，故时，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的最值公式是解题的关键．14.在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________．【答案】【解析】【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答．【详解】解：作轴，轴于点，与交于点，∵点的坐标，点的坐标是，∴，，，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴点，故答案为．【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键．15.如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则________．【答案】##72度【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解．【详解】解：如图，延长到H，四边形内接于，，，，，的度数之比为，，，，的度数之比为，，，．故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．16.如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第________个点．【答案】99【解析】【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点，横纵坐标和是1的有2个点，横纵坐标和是2的有3个点，横纵坐标和是3的有4个点，，横纵坐标和是的有个点，，，横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、是第个点，故答案为：99．【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键．三、解答题17.先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】利用分式的混合运算，化简原式，再把，代入化简后的式子，计算即可．【详解】解：原式，，．当，时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再进行约分，接着进行分式的加减运算，得到最简分式或整式（若有括号，先把括号内通分，除法运算转化为乘法运算）；然后把满足条件的字母的值代入进行计算得到对应分式的值．熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键．18.解不等式组：．【答案】【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可解答．【详解】解：由①得：解得：由②得：，解得：，∴原不等式组的解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的步骤，掌握解一元一次不等式组步骤是解题的关键．19.某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数．【答案】购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱【解析】【分析】设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱，根据总价是2660元、购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，列二元一次方程组，即可求解．【详解】解：设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱．由题意得：解得：答：购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组．20.某企业餐厅，有A、两家公司可选择，该企业现连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日选择公司，记录送餐用时（单位：）如下表：12345678910A公司送餐用时26263025272924283025公司送餐用时20182116343215143515根据上表数据绘制的折线统计图如图所示：（1）根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；（2）如果某工作日该企业希望送餐用时不超过，应选择哪家公司？请简述理由．【答案】（1）选择A公司，理由见解析（答案不唯一）（2）选择公司，理由见解析【解析】【分析】（1）根据两个公司各自的优点进行判断即可；（2）根据表格中的数据进行选择即可．【小问1详解】解：选择A公司；理由如下：A公司送餐用时稳定，基本在之间，而公司送餐时间不稳定，忽快忽慢，不利于员工用餐；选择公司．理由如下：A公司平均用时，而公司平均用时，公司平均花时更短．（言之有理即可）【小问2详解】解：选择公司．理由如下：从各自10个工作日送餐情况看，A公司的送餐时间没有低于的，而公司虽然有4次超过30分钟，但是其余6次都不超过，所以选择公司．【点睛】本题主要考查了数据的处理和应用，解题的关键是根据表格中的数据作出正确的选择．21.甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：（1）选取1个景点，恰好在甲城市；（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到恰好在同一个城市的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市的为、占2种，∴恰好在甲城市的概率，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为．【小问2详解】解：随机选取2个景点，共有10种等可能结果：、、、、、、、、、，其中满足恰好在同一个城市的为：、、、，占其中4种，∴恰好在同一个城市的概率即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．22.如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据邻边，即可证明平行四边形是菱形．【详解】解：证明：∵平分，，∴，．∴．∴．又∵于点，∴．在和中，，∴．∴．∴四边形是平行四边形．又∵，∴平行四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．23.如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）【答案】处距离港口约【解析】【分析】过点作的延长线于点，在中，求得，在中，求得，根据，即可求解．【详解】解：过点作的延长线于点在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴处距离港口约．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．24.如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．（1）求证：；（2）若，，，求的半径长．【答案】（1）见解析（2）半径为5【解析】【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即，（2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5．【小问1详解】