2014年福建省宁德市中考数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．-5的相反数是A． B．- C．-5 D．52．下列运算正确的是A． B．C． D．3．下列图形中，不是正方体表面展开图的是A．B．C．D．4．下列事件是必然事件的是A．任取两个正整数，其和大于1B．抛掷1枚硬币，落地时正面朝上C．在足球比赛中，弱队战胜强队D．小明在本次数学考试中得150分5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是0123012301230123A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B=70°，现将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为M，则∠BDM的大小是第6题图AMEDBCA．70° B．40°C．30° D．20°7．9的算术平方根是A． B．3 C． D．8．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是BOAMDNECA．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行9．如图，在边长为1的正方形网格中，从A1，A2，A3中任选一点An（n=1，2，3），从B1，B2，B3，B4中任选一点Bm（m=1，2，3，4），与点O组成Rt△AnBmO，则=1的概率是OA1A2A3B1B2B3B4A．B．C．D．10．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG，②△EDP≌△GFP，③∠EDP＝60°，④EP=1中，一定正确的是ADBPFCGEA．①③B．②④C．①②③D．①②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．若∠A＝30°，则∠A的补角是_______°．12．若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是_______边形．13．国务院《节能减排“十二五”规划》中明确指出：至2015年，全国二氧化硫排放总量控制在20900000吨．数据20900000用科学记数法表示是_____________．14．某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下：，，，，则这两名运动员中______的成绩更稳定．15．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点．第15题图ＡBC16．方程的解是．17．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB=AC=67cm，BC=30cm，则∠ABC的大小约为_____°（结果保留到1°）．BCA18．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向轴和轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．BPOxyAB三、解答题（本大题有8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）19．（本题满分14分）（1）计算：；（2）计算：．20．（本题满分8分）某校在校内为见义勇为基金会开展了一次捐款活动，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，绘制了如下统计图1和统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）直接写出样本中学生捐款金额的众数和中位数，及统计图1中“15元”部分扇形圆心角的度数；（2）求本次被调查学生的人均捐款金额；（3）若随机调查该校一名学生，估计该生捐款金额不低于20元的概率．图1图210元32%20元24%15元5元8%30元16%学生捐款金额扇形统计图0481216人数5元捐款金额10元15元20元30元学生捐款金额条形统计图4161012821．（本题满分8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．ABCDE22．（本题满分10分）为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？ 23．（本题满分10分）如图，已知□ABCD，∠B=45，以AD为直径的⊙O经过点C．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AB=，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．.ABCDO24．（本题满分10分）如图，点A在双曲线（k≠0）上，过点A作AB⊥x轴于点B（1，0），且△AOB的面积为1．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90，得到△A′OB′，请在图中画出△A′OB′，并直接写出点A′，B′的坐标；（3）连接A′B，求直线A′B的表达式．OyABx25．（本题满分13分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90．（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：证明：设AB与CD相交于点O，∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．∵∠DOB=∠AOC，∴∠DBO=∠①．∵M是DC的中点，∴CM=CD=②．又∵AB=AC，∴△ADB≌△AMC．（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以ＤN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．图1ABCDMO图2ABCDO26．（本题满分13分）如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于C点．（1）求A，B，C三点坐标及该抛物线的对称轴；（2）若点E在x轴上，点P(x，y）是抛物线在第一象限上的点，△APC≌△APE，求E，P两点坐标；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得∠AMC是钝角．若存在，求出点M的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．PEAOxyBC备用图lAOxyBC2014年福建省宁德市中考数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，满分40分）1．D2．C3．A4．A5．A6．B7．B8．B9．C10．D二、填空题：（本大题有8小题，每小题3分，满分24分）11．15012．九13．14．甲15．C16．17．7718．6三、解答题:（本大题共8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）19．（本题满分14分）（1）解：原式=+4+1…………6分=…………7分（2）解：原式=…………4分…………5分…………6分…………7分20．（本题满分8分）（1）众数10元，中位数15元，圆心角72．…………3分（2）解法一：…………5分=16.2元答：人均捐款金额为16.2元．…………6分解法二：…………5分=16.2元答：人均捐款金额为16.2元．…………6分（3）P(不低于20元）==．答：在该校随机调查一个学生捐款金额不低于20元的概率为．…………8分21．（本题满分8分）ABCDE证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．…………2分∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．…………4分∴四边形AECD是平行四边形．…………5分∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．…………7分∴□AECD是矩形．…………8分（证法2：由四边形ABED是平行四边形得DE=AB=AC，∴□AECD是矩形．）22．（本题满分10分）解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得：……1分，…………7分解得．…………9分答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元．…………10分23．（本题满分10分）ABCDO证明：（1）连结OC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴．∵OC=OD，∴，∴．（或．）…………3分∵AD∥BC，∴，∴直线BC是⊙O的切线．…………5分（2）在Rt△DOC中，CD=AB=，，∴OC=CDsin=sin=2，…………7分∴AD=2OC=4．S阴影部分=S□ABCD-SRt△COD-S扇形AOC=4×2-×2×2-=6-π．（或S阴影部分=S梯形AOCB-S扇形AOC．)答：阴影部分的面积为（6-π）．…………10分24．（本题满分10分）（1）解法一：由题意得OB=1，∵，AB⊥x轴，由，得AB=2，∴点A的坐标为A(1，2)．将A代入得，k=2．…………3分解法二：根据S△AOB=，点A在第一象限，得k=2．…………3分（2）画图（略）；…………5分A′(-2，1)，B′(0，1)．…………7分（3）设直线A′B的表达式(k)，∵A′(-2，1)，B(1，0)，∴，解得．…………9分∴直线A′B的表达式．…………10分ABCDON25．（本题满分13分）（1）证明：①∠ACO（或∠ACM)；②BD；…………4分（2）解法一：存在．在BD上截取BN=CD，…………5分同（1）可证得∠ACD=∠ABN．∵AC=AB，∴△ACD≌△ABN，…………6分∴AD=AN，∠CAD=∠BAN，∴∠CAD+∠NAC=∠BAN+∠NAC，即∠DAN=∠BAC=90°．…………8分∴△AND为等腰直角三角形．…………9分解法二：存在．过点A作AN⊥AD交BD于点N，则∠DAN=90°，…………5分同（1）可证得∠ABN=∠ACD．∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠CAN=∠BAN+∠CAN=90°，∴∠BAN=∠CAD．…………7分∵AB=AC，∴△ABN≌△ACD．…………8分∴AN=AD，∴△AND为等腰直角三角形．…………9分（3）①当CD＞BD时，CD=BD+AD；…………11分AOyBCx②当CD＜BD时，BD=CD+AD．…………13分26．（本题满分13分）解：（1）把x=0代入，得y=8，∴C（0，8）．…………1分由， 得x=-6，或x=8．∴点A坐标为（-6，0），点B坐标为（8，0）．…………3分∴抛物线的对称轴方程是直线x=1．…………4分（2）如图1，连接AP交OC于F点，设F（0，t），图1EAOyBCPFx连接EF，由题意可得AC=10，∵△APC≌△APE，∴AE=AC=10，AP平分∠CAE．∴OE=10-6=4，点E坐标为（4，0）．……5分∵AP平分∠CAE，∴由对称性得EF=CF=8-t．在Rt△EOF中，，∴，解得t=3．EAOyBCKPFx图2∴点F坐标为（0，3）．……7分设直线AF的表达式(k)，将点A（-6，0），F（0，3）代入，解得，∴直线AF的表达式．由，图3EAOyBCGPF解得或（不符合题意，舍去）．∴P（5，），E（4，0）．…………10分,注：解法二：如图2，连CE交AP于K，由AC=AE，AP平分∠CAE得K为CE中点，坐标为（2，4），则可求得直线AP的表达式，以下相同；图4FPEAOxyBCH解法三：如图3，过点F作FG⊥AC，由AP平分∠CAE，得AG=AO=6，证△AOC∽△FGC，由，得F（0，3），以下相同；解法四：如图3，过点F作FG⊥AC，设OF=FG=x，CF=8-x，在Rt△CGF中由勾股定理得F（0，3）以下相同；TDAOxyBCQlSIJ解法五：如图4，用以上方法求出F（0，3）后，可过点P作PH⊥AB，证△AOF∽△AHP，由，设P为（2y-6，y），代入抛物线得出P（5，），E（4，0）；(3)解法一：如图5，以AC为直径画⊙I，交对称轴l于S，T，作IQ⊥l于Q，IQ交y轴于J，易得I为（-3，4），∴IQ=4，IS=5；…………11分在Rt△SIQ中由勾股定理得SQ=4图5∴S，T的坐标分别为（1，7）和（1，1），……12分当M介于S1和S2之间时，延长AM交⊙I于L，∠ALC=90，l图6NS2DAOyB